Найме́ншае агу́льнае кра́тнае (найменшы агульны кратны лік, НАК) двух цэлых лікаў m і n — найменшы натуральны лік, які дзеліцца на m і n без астачы. Абазначаецца адным з наступных спосабаў:
- НАК(m, n);
- [m, n];
- lcm(m, n) (ад англ.: Least Common Multiple).
Прыклад: НАК(16, 20) = 80.
Найменшае агульнае кратнае некалькіх лікаў — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца на кожны з гэтых лікаў.
Адно з найбольш частых прымяненняў НАК — прывядзенне дробаў да агульнага назоўніка.
- Перастаўляльнасць (камутатыўнасць):
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=\operatorname {lcm} (b,a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a79ea79f0166fa0a0d351be79cea3bfd86ec90)
- Спалучальнасць (асацыятыўнасць):
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c263c612ce0bb1a4694c1165362b0d37f29066c1)
- Сувязь з найбольшым агульным дзельнікам gcd(a, b):
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9453a93953efe119b7502c1827aeeb869ab121d6)
- У прыватнасці, калі a і b — узаемна простыя лікі (руск.) (бел., то:
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=a\cdot b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016047da4d589e46ea90855a17ed244b549493fc)
пры ![{\displaystyle n\geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed525e7a2b6e789059dc9b3ce0b2c3d761b5a9f9)
- Найменшае агульнае кратнае двух цэлых лікаў m і n з'яўляецца дзельнікам усіх іншых агульных кратных m і n. Больш таго, мноства агульных кратных m і n супадае з мноствам кратных для НАК(m, n).
- Асімптотыкі для
можна выразіць праз некаторыя тэарэтыка-лікавыя функцыі.
- Функцыя Чабышова (англ.) (бел.
![{\displaystyle \psi (x)=\ln \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103e908bfb7add50083a4f3b6b76738bbf40dcc7)
. Гэта вынікае з азначэння і ўласцівасцей функцыі Ландау (руск.) (бел. g(n).
, што вынікае з закона размеркавання простых лікаў (руск.) (бел..
НАК(a, b) можна вылічыць некалькімі спосабамі.
1. Калі вядомы найбольшы агульны дзельнік, можна выкарыстаць яго сувязь з НАК:
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b7802ef960fe4eb40b4c75e38b0ed9c58d2aa3)
2. Няхай вядома кананічнае раскладанне абодвух лікаў на простыя множнікі:
![{\displaystyle a=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59191d2ce0c6465ecc78a36ddd174e7ef83c5e4)
![{\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37acf52092e2020ec051a8e047b50b0b9433fa9d)
дзе
— розныя простыя лікі, а
і
— неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведнага простага няма ў раскладанні). Тады НАК(a, b) вылічаецца па формуле:
![{\displaystyle [a,b]=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d198e447c2114df6cd2e7ef2af92dc23852d34)
Іншымі словамі, раскладанне НАК утрымлівае ўсе простыя множнікі, якія ўваходзяць хоць у адно з раскладанняў лікаў a і b, прычым з двух паказчыкаў ступені гэтага множніка бярэцца найбольшы. Прыклад:
![{\displaystyle 8\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c06895fcc3a36a096c4c2c2bd8fc86a5d90f248)
![{\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a8b0f27469f05a1ec8a52cac92c87334d6383e)
![{\displaystyle 21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}\cdot 7^{1}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a23cdb0dc0f7f1ef20b6c78559c8b2bf307c95)
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (8,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{0}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 1\cdot 7=504.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f526e8312d04b8d07df7f2f2b4aaead81ca081a)
Вылічэнне найменшага агульнага кратнага некалькіх лікаў можна звесці да некалькіх паслядоўных вылічэнняў НАК ад двух лікаў:
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b,c)=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a,b),c);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55224ad6fa55aaea4444065568527977aed35a79)
![{\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273a760154053f2d646cf187a1a8a4f4a4369755)
- Виноградов И. М. Основы теории чисел.. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.