Адзінкавая матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Адзінкавая матрыца — квадратная матрыца, элементы галоўнай дыяганалі якой роўныя адзінцы поля, а астатнія роўныя нулю.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Квадратная матрыца E_n=(e_{ij}) памеру (парадку n), дзе e_{ii}=1 для ўсякага i\in\overline{1,n} для ўсякіх i\ne j, называецца адзінкавай матрыцай парадку n.

Адзінкавую матрыцу можна вызначыць як матрыцу (e_{ij}), у якой e_{ij}=\delta_{ij}, де \delta_{ij} — сімвал Кронэкера.

Адзінкавая матрыца з'яўляецца частковым выпадкам скалярнай матрыцы.

Абазначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Адзінкавая матрыца памеру n\times n звычайна абазначаецца E_n і мае выгляд:

E_n=\begin{bmatrix} 
1 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 1 & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & 1
\end{bmatrix},

Гэтак жа выкарыстоўваецца і іншае пазначэнне: I_n.

Калi з кантэксту ясна, якога памеру матрыца, то ніжні індэкс (які паказвае парадак) апускаецца: E, I.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Здабытак любой матрыцы і адзінкавай матрыцы падыходнага памеру роўны самой матрыцы:
A E = E A = A
  • Квадратная матрыца ў нулявой ступені дае адзінкавую матрыцу таго ж памеру:
A^0 = E
  • Пры памнажэнні матрыцы на адваротную ёй таксама атрымліваецца адзінкавая матрыца:
\! A A^{-1} = E
A A^T = E
\mathrm{det}\,E=1.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Адзінкавыя матрыцы першых парадкаў маюць выгляд


E_1 = \begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}
,\ 
E_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}
,\ 
E_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Заўвага[правіць | правіць зыходнік]

Калі ўзяць дзве матрыцы —: матрыцу A і адзінкавую E — то, прывядзеннем матрыцы A да адзінкавай метадам Гауса, можна дамагчыся адначасовага прывядзення матрыцы E да матрыцы A^{-1} наступным чынам: неабходна вырабляць над адзінкавай матрыцай тыя ж пераўтварэнні, якія вырабляюцца пры прывядзенні A да адзінкавай. Матрыца, атрыманая з адзінкавай матрыцы E будзе роўная A^{-1}.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]