Арыфметычная прагрэсія

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a₁, a₂, a₃, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі.

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a₁ і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

$a_{n+1}=a_n+d, \qquad n = 1,2,3,\dots,$

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

$a_1, \quad a_1+d, \quad a_1+2d, \quad \dots.$

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку a_n+1 - a_n = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

$a_n=a_1+(n-1)d,$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Доказ

Карыстаючыся роўнасцю $a_{n+1}=a_n+d$ выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

$a_2=a_1+d$

$a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d$

$a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d$

$a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d$

Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што $a_n=a_1+(n-1)d$. З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных n:

Першы крок індукцыі $(n=1)$ :

$a_1=a_1+(1-1)d=a_1$ - сцверджанне праўдзівае.

Пераход індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры $n=k$, гэта значыць $a_k=a_1+(k-1)d$. Дакажам справядлівасць сцверджання пры $n=k+1$:

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры $n=k+1$. Гэта азначае, што $a_n=a_1+(n-1)d$ для ўсіх $n \in \mathbb N$.

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Паслядоўнасць $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, \qquad n \ge 2.$

Доказ

Неабходнасць:

Раз паслядоўнасць $a_1, a_2, a_3, \ldots$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для $n \ge 2$ праўдзяцца роўнасці:

$a_n=a_{n-1}+d,$

$a_n=a_{n+1}-d.$

Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 .$

Дастатковасць:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 .$ Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :$a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}.$

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсіі

Суму першых $n$ элементаў арыфметычнай прагрэсіі $S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n$ можна вылічыць па формулах

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n,$

або

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n,$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, a_n — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Доказ

Запішам суму двума спосабамі:

$\begin{array}{ccccccccccccccc} S_n & = & a_1 & + & a_2 & + & a_3 & + & \ldots & + & a_{n-2} & + & a_{n-1} & + & a_n ,\\ S_n & = & a_n & + & a_{n-1} & + & a_{n-2} & + & \ldots & + & a_3 & + & a_2 & + & a_1 . \end{array}$

У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1).$

Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як $a_i+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots,n$. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots,n.$

Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад i і роўная $2a_1+(n-1)d$. У прыватнасці, $a_1+a_n=2a_1+(n-1)d$. А раз такіх складнікаў n, то

$2S_n=(a_1+a_n)\cdot n$

Адсюль вынікае роўнасць

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$.

Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай $2a_1+(n-1)d$ замест $a_1+a_n$.

Заўвага:

Замест $a_1+a_n$ у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў $a_i+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots,n$, бо ўсе яны роўныя між сабой.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі

Няхай $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арыфметычная прагрэсія з рознасцю $d$ і лік $b > 0$. Тады паслядоўнасць выгляду $b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3}, \ldots$ ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам $b^d$.

Доказ

Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:

$\sqrt{b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}= b^{a_n}, \qquad n\ge 2.$

Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

$\sqrt{b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}=\sqrt{b^{a_1+(n-2)d}\cdot b^{a_1+nd}}=\sqrt{b^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(b^{a_1+(n-1)d})^2}=b^{a_1+(n-1)d}=b^{a_n}, \qquad n\ge 2.$

А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць $b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3}, \ldots$ ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці $q=\frac{b^{a_2}}{b^{a_1}}=\frac{b^{a_1+d}}{b^{a_1}}=b^d.$

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі

Арыфметычная прагрэсія $a_1, a_2, a_3, \ldots$ разбягаецца пры $d\ne 0$ і збягаецца пры $d=0$. Прычым

$\lim_{n\to\infty} a_n = \begin{cases} +\infty,& d>0 \\ -\infty,& d<0 \\ a_1,& d=0 \end{cases}$

Доказ

Запісаўшы выраз агульнага члена і разгле́дзеўшы граніцу $\lim_{n\to\infty} (a_1+(n-1)d)$, атрымліваем патрэбны вынік.

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

Прыклады

• Натуральны рад $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент $a_1=1$, а рознасць $d=1$.
• $1, -1, -3, -5, -7$ — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе $a_1=1$ і $d=-2$.
• Суму першых $n$ натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.$

Гл. таксама

• Геаметрычная прагрэсія

Вонкавыя спасылкі

• Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі