Арыфметычная прагрэсія

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a1, a2, a3, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі[1][2].

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a1 і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

a_{n+1}=a_n+d, \qquad n = 1,2,3,\dots,

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

a_1, \quad a_1+d, \quad a_1+2d, \quad \dots.

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку an+1 - an = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

a_n=a_1+(n-1)d,

дзе a1 — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Паслядоўнасць a_1, a_2, a_3, \ldots ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, \qquad n \ge 2.

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Суму першых n элементаў арыфметычнай прагрэсіі S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n можна вылічыць па формулах

S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n,

або

S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n,

дзе a1 — першы член прагрэсіі, an — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі[правіць | правіць зыходнік]

Няхай a_1, a_2, a_3, \ldots — арыфметычная прагрэсія з рознасцю d і лік b > 0. Тады паслядоўнасць выгляду b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3}, \ldots ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам b^d.

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Арыфметычная прагрэсія a_1, a_2, a_3, \ldots разбягаецца пры d\ne 0 і збягаецца пры d=0. Прычым


\lim_{n\to\infty} a_n = \begin{cases}
+\infty,& d>0 \\
-\infty,& d<0  \\
a_1,& d=0
\end{cases}

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў[правіць | правіць зыходнік]

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Натуральны рад 1, 2, 3, 4, 5, \ldots — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент a_1=1, а рознасць d=1.
  • 1, -1, -3, -5, -7 — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе a_1=1 і d=-2.
  • Суму першых n натуральных лікаў можна вылічыць па формуле
1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы і спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  1. БЭ ў 18 т. Т. 2.
  2. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Вонкавыя спасылкі[правіць | правіць зыходнік]