Матэматычная індукцыя

Матэматычная індукцыя — у матэматыцы — адзін з метадаў доказу. Звычайна выкарыстоўваецца, дзеля доказу нейкага сцвярджэння для ўсіх натуральных лікаў. Для гэтага, даказваецца «першае сцвярджэнне» — база індукцыі, і затым, даказваючы, што калі любое сцвярджэнне ў бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў дакладна, то дакладна і наступнае — крок індукцыі.

Дакладнае апісанне

Выкажам здагадку, што патрабуецца ўсталяваць справядлівасць бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў, занумараваных натуральнымі лікамі: $P_1, P_2, \ldots, P_n, P_{n+1}, \ldots$

Прымем, што

1. Усталявана, што $P_1$ дакладна. (Гэтае сцвярджэнне завецца базай індукцыі.)
2. Для любога n даказана, што калі дакладна $P_n$, то дакладна $P_{n+1}$. (Гэтае сцвярджэнне завецца індукцыйным пераходам.)

Тады ўсё сцвярджэнні нашай паслядоўнасці дакладныя.

Пэўнасць гэтага метаду доказу выцякае з так званай аксіёмы індукцыі, пятай з аксіём Пеана, якія вызначаюць натуральныя лікі.

Пэўнасць гэтага метаду доказу эквівалентная таму, што ў любым падмностве натуральных лікаў існуе мінімальны элемент. Існуе таксама варыяцыя, так званы прынцып поўнай матэматычнай індукцыі. Вось яго строгая фармулёўка:

Хай маецца паслядоўнасць сцвярджэнняў $P_1,P_2, P_3 \ldots$. Прымем, што

1. Усталявана, што $P_1$ дакладна.
2. Для любога натуральнага $n$ даказана, што калі дакладныя ўсё $P_1,P_2, P_3 \ldots P_n$, то дакладна і $P_{n+1}$. (Гэтае сцвярджэнне завецца індукцыйным пераходам.)

Тады ўсё сцвярджэнні ў гэтай паслядоўнасці дакладныя.

Прынцып поўнай матэматычнай індукцыі таксама выцякае з аксіёмы індукцыі і яму эквівалентны, гэта значыць яго можна ўзяць замест аксіёмы індукцыі ў аксіёмах Пеана.

Прыклады

Задача. Даказаць, што, якое б ні было натуральнае n і сапраўднае q, адрозненае ад адзінкі, выконваецца роўнасць

$1 + q + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 -q}.$

Доказ. Індукцыя па n.

База, n = 1:

$1 + q = \frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q}=\frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q}.$

Пераход: выкажам здагадку, што

$1 + q + \cdots + q^n=\frac{1- q^{n + 1}}{1 - q},$

тады

$1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=$

$=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}$,

што і патрабавалася даказаць.

Каментар: пэўнасць сцвярджэння $P_n$ у гэтым доказе — тое ж, што пэўнасць роўнасці

$1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

• Гл. таксама доказ аднаколернасці ўсіх канёў.

Варыяцыі і абагульненні

• Трансфінітная індукцыя
• Структурная індукцыя.

Літаратура

• Н. Я. Виленкин Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1976. — 48 с.
• Л. И. Головина, И. М. Яглом Индукция в геометрии, «Популярные лекции по математике», Выпуск 21, Физматгиз 1961. — 100 с.
• Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Глава I, § 2.
• И. С. Соминский Метод математической индукции. «Популярные лекции по математике», Выпуск 3, Издательство «Наука» 1965.—58 с.