Гаўсаў пучок

Гаўсаў пучок (сін. гаўсаўскі пучок) - пучок электрамагнітнага выпраменьвання, у якім размеркаванне электрычнага поля ў папярочным сячэнні добра набліжаецца функцыяй Гаўса. Кагерэнтны светлавы пучок з гаўсаўскім размеркаваннем поля мае фундаментальае значэнне ў тэорыі хвалевых пучкоў. Гэты пучок называецца асноўнай модай у адрозненне ад іншых модаў больш высокага парадку.

Матэматычнае апісанне

Шукаецца рашэнне наступнага хвалевага раўнання, якое апісвае распаўсюджванне пучка ў выглядзе  :

$\Psi =u(x,y,z)e^{ikz}$ ,

дзе $u(x,y,z)$ - павольна змяняльная камплексная функцыя, якая вызначае ўласцівасці лазернага промня, якія адрозніваюць яго ад плоскай хвалі . Прымяненне аператара Δ да функцыі Ψ дае:

$\Delta \Psi =\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}-k^{2}u\right)e^{ikz}$ .

Калі у гэтым выразе пагрэбаваць другой вытворнай ад $u$ па $z$ у параўнанні з першай, на аснове хвалевага раўнання Гельмгольца атрымліваецца раўнанне:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0$ .

Атрыманае раўнанне адносіцца да ўраўненняў парабалічнага тыпу, а набліжэнне, у якім яно атрыманае, называецца парабалічным набліжэннем. Лёгка паказаць, што раўнанню будзе задавальняць гаўсаў пучок, амплітуда якога змяняецца ўздоўж папярочнай каардынаты паводле закона Гаўса.

Для гаўсавага пучка можна запісаць выраз:

$u=a\exp {\left[i\left(p+{\frac {k}{2q}}r^{2}\right)\right]}$ ,

дзе r ² = х ² + у ² . Параметр р - камплексны зрух фазы падчас распаўсюджвання святла ўздоўж восі z, і q - комплексны параметр пучка, які вызначае гаўсавае размеркаванне поля па каардынаце r, дзе r - адлегласць ад восі. Акрамя таго, q вызначае крывізну хвалевага фронту, які з'яўляецца сферычным каля восі z.

Разгледзім уласцівасці гаўсавага пучка з даўжынёй хвалі λ больш падрабязна. Для гэтага выразім камплексны параметр q праз два параметры пучка R і w

${\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}+i{\frac {\lambda }{\pi w^{2}}},$

дзе R - радыус крывізны хвалевага фронту, а w характарызуе змяненне поля E ў папярочнай плоскасці (параметр w называецца шырынёй пучка). Размеркаванне поля ў гэтай плоскасці падпарадкоўваецца закону Гаўса, а w роўнае адлегласці, на якім амплітуда поля памяншаецца ў e разоў у параўнанні з полем на восі.

Уласцівасці пучка

Шырыня гаўсава пучка w як функцыя ад z. w ₀ : перацяжка пучка; b: канфакальны параметр; z_R : рэлееўская даўжыня; Θ: вуглавая разбежнасць пучка

Шырыня пучка

У некаторай плоскасці, так званай шыйцы каўстычнай паверхні або перацяжцы, гаўсавы пучок сцягваецца да мінімальнай шырыні w₀ . У гэтай плоскасці, ад якой мэтазгодна вылічваць адлегласць z, фазавы фронт плоскі, а камплексны параметр пучка становіцца чыста ўяўным:

$q_{0}={\frac {\pi w_{0}^{2}}{i\lambda }},z_{R}=iq_{0},$

дзе z_R - рэлееўская даўжыня. Тады шырыня промня на адлегласці z задаецца наступнай формулай:

$w(z)=w_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {\lambda z}{\pi w_{0}^{2}}}\right)^{2}}}$

Радыус крывізны

Залежнасць радыусу крывізны ад каардынаты:

$R(z)=z\left(1+\left({\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda z}}\right)^{2}\right)$

Разбежнасць пучка

Абгінальная промня w (z) ставіць сабой гіпербалу, асімптота якой нахіленая да восі пад вуглом

$\theta ={\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}$ .

Гэты вугал роўны вуглу дыфракцыі галоўнай моды ў далёкай зоне.

Поўная вуглавая разбежнасць промня складае

$\Theta =2\theta$ .

Моды вышэйшых парадкаў

Першыя дзевяць модаў Эрміта-Гаўса

Гаўсавы пучкі - толькі адно з магчымых рашэнняў параксіяльнага хвалевага ўраўнення. Для мадэлявання лазерных прамянёў выкарыстоўваюцца камбінацыі розных артаганальных рашэнняў. У агульным выпадку, калі вызначаецца поўны базіс рашэнняў, то любы пучок можна апісаць як суперпазіцыю рашэнняў з базісу.