Квадратычны закон узаемнасці

Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага параўнання па модулю простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

Фармулёўка

Азначэнне сімвала Лежандра

Няхай a — цэлы лік, і p — просты лік, не роўны 2. Сімвал Лежандра $\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)$ вызначаецца наступным чынам:

• $\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0$, калі a дзеліцца на p;
• $\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1$, калі a з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і існуе такі цэлы x, што $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$;
• $\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1$, калі a з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю p.

Тэарэма

Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджае, што

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}},$

дзе р і q — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$     і     $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}.$

Прымяненні

• Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў $x^{2}+1$ могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі

  $4k+1$.

Іншымі словамі, параўнанне

$~x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}$

па простаму модулю $p>2$ вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі $~p\equiv 1{\pmod {4}}.$

З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}.$

• Пытанне аб вырашальнасці параўнання

  $ax^{2}+bx+c\equiv 0{\pmod {p}}$

развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гісторыя

Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзе. Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе. Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны Залатаровым у 1872 годзе.

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гл. таксама

• Сімвал Лежандра
• Сімвал Якобі
• Сімвал Кронекера — Якобі

Літаратура

• И. М. Виноградов. Основы теории чисел.. — М.: Наука, 1972.
• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел.. — М.: Мир, 1987.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Quadratic Reciprocity Theorem (нявызн.). MathWorld.