Квадратычны закон узаемнасці

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага параўнання па модулю(руск.) бел. простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

Фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнне сімвала Лежандра

Няхай aцэлы лік, і pпросты лік, не роўны 2. Сімвал Лежандра(руск.) бел. \textstyle \left(\frac{a}{p}\right) вызначаецца наступным чынам:

  • \textstyle\left(\frac{a}{p}\right)=0, калі a дзеліцца на p;
  • \textstyle\left(\frac{a}{p}\right)=1, калі a з'яўляецца квадратычнаю рэштаю(руск.) бел. па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і існуе такі цэлы x, што x^2\equiv a\pmod p;
  • \textstyle\left(\frac{a}{p}\right)=-1, калі a з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю p.
Тэарэма

Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджае[1], што

\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4,

дзе р і q — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2     і     \left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.

Прымяненні[правіць | правіць зыходнік]

  • Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў x^2+1 могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі
    4k+1.
Іншымі словамі, параўнанне
~x^2+1\equiv 0\pmod{p}
па простаму модулю p>2 вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі ~p \equiv 1\pmod4.

З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2.
  • Пытанне аб вырашальнасці параўнання
    ax^2+bx+c\equiv 0 \pmod{p}
развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзе[2]. Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе. Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны Залатаровым(руск.) бел. у 1872 годзе[3][4][5].

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасці[6].

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Виноградов. Основы теории чисел. С. 70—71.
  2. Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
  3. Zolotareff G. (1872). "Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre". Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série 11: 354—362. http://www.math.us.edu.pl/~szyjewski/Archiwum/Zolotarew/zolot01.pdf. 
  4. Прасолов В. В. Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.
  5. Горин Е. А. Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву-Фробениусу-Руссо // Чебышевский сборник. — 2013. — В. 4. — Т. 14. — С. 80-94.
  6. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. С. 73, 136.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972.
  • К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]