Аксіёмы Пеана

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Аксіёмы Пеана — сістэма аксіём, якія вызначаюць рад натуральных лікаў.

Аксіёмы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку. Пасля ўвядзення аксіём сталі магчымы доказы асноўных уласцівасцей натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчаісных лікаў.

Фармулёўкі[правіць | правіць зыходнік]

Слоўная[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1 ёсць натуральным лікам;
  2. Лік, наступны за натуральным, таксама ёсць натуральным;
  3. 1 не йдзе ні за якім натуральным лікам;
  4. Калі натуральны лік a непасрэдна йдзе як за лікам b, так і за лікам c, то b і c тоесныя;
  5. Аксіёма індукцыі:
Калі якое-небудзь сцверджанне
а) даказана для 1 (база індукцыі),
б) і калі з дапушчэння, што яно справядліва для натуральнага ліку n, вынікае, што яно праўдзіцца і для наступнага за n натуральнага ліку (індукцыйнае сцверджанне),
то гэта сцверджанне справядліва для ўсіх натуральных лікаў.

Матэматычная[правіць | правіць зыходнік]

Увядзем функцыю S(x), якая супастаўляе ліку x наступны за ім лік.

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N};
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1);
  4. S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c);
  5. P(1)\rightarrow(\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n))).

Даслоўны тэкст[правіць | правіць зыходнік]

Тэкст Пеанавых аксіём, як ён прыведзен у арыгінальным выданні Пеана:

  1. «0 ёсць натуральны лік»;
  2. «наступны за натуральным лікам ёсць натуральны лік»;
  3. «0 не йдзе ні за якім натуральным лікам»;
  4. «усякі натуральны лік ідзе толькі за адным натуральным лікам»;
  5. Аксіёма поўнай індукцыі.

Заўвага: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзі сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.

Аксіёмы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць іменна Пеана надаў ім сучасны выгляд.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]