Набліжэнне эйканала

У тэарэтычнай фізіцы набліжэнне эйканала (грэчаск. Εἰκών- падабенства, значок ці выява, параўн. Ікона) ці эйканальное набліжэнне ёсць набліжаным метадам, карысным для рашэння ўраўненняў для рассеяння часціц і хваляў, якія сустракаюцца у оптыцы, сэйсмалогіі, квантавай механіцы, квантавай электрадынаміцы і разлажэнні па парцыяльных хвалях.

Якаснае апісанне

Галоўная перавага набліжэння эйканала палягае ў тым, што першапачатковыя ўраўненні зводзяцца да аднаго дыферэнцыяльнага ўраўнення з адной пераменнай. Гэтае скарачэнне да адной пераменнай з'яўляецца вынікам набліжэння прамой лініі (эйканальнага набліжэння), якое дазваляе выбраць прамую лінію ў якасці асаблівага накірунку.

Сувязь з набліжэннем ВКБ

Першыя крокі, звязаныя з набліжэннем эйканала у квантавай механіцы, вельмі цесна звязаныя з квазікласічным набліжэннем (ВКБ) для аднамерных хваляў. Метад ВКБ, як і набліжэнне эйканала, зводзіць ураўненні да аднаго дыферэнцыяльнага ўраўнення з адной пераменнай. Але складанасць набліжэння ВКБ складаецца ў том, што гэтая пераменная апісваецца траекторыяй часціцы, якая, у агульным выпадку з'яўляецца складанай.

Фармальнае апісанне

Выкарыстоўваючы набліжэнне ВКБ, можна запісаць хвалевую функцыю рассеянае часціцы ў тэрмінах дзеяння S:

$\Psi =e^{iS/{\hbar }}$

Падстаўляючы хвалевую функцыю Ψ ва ўраўненне Шродзінгера без наяўнасці магнітнага поля, атрымліваем

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}\Psi =(E-V)\Psi$

$-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}{e^{iS/{\hbar }}}=(E-V)e^{iS/{\hbar }}$

${\frac {1}{2m}}{(\nabla S)}^{2}-{\frac {i\hbar }{2m}}{\nabla }^{2}S=E-V$

Запішам S у выглядзе ступеннага рада па ħ

$S=S_{0}+{\frac {\hbar }{i}}S_{1}+...$

Для нулявога парадку:

${\frac {1}{2m}}{(\nabla S_{0})}^{2}=E-V$

Калі разглядаць аднамерны выпадак, то ${\nabla }^{2}\rightarrow {\partial _{z}}^{2}$

Атрымліваем дыферэнцыяльнае ўраўненне з гранічнай умовай :

${\frac {S(z=z_{0})}{\hbar }}=kz_{0}$

для $V\rightarrow 0$$z\rightarrow -\infty$

${\frac {d}{dz}}{\frac {S_{0}}{\hbar }}={\sqrt {k^{2}-2mV/{\hbar }^{2}}}$

${\frac {S_{0}(z)}{\hbar }}=kz-{\frac {m}{{\hbar }^{2}k}}\int _{-\infty }^{z}{Vdz'}$

Літаратура

• R.R. Dubey (1995). Comparison of exact solution with Eikonal approximation for elastic heavy ion scattering (3rd ed.). NASA. Архівавана 9 ліпеня 2021.
• W. Qian (1989). Eikonal approximation in partial wave version (3rd ed.). Архівавана 9 ліпеня 2021.
• M. Lévy. "Eikonal Approximation in Quantum Field Theory".
• I. T. Todorov. "Quasipotential Equation Corresponding to the Relativistic Eikonal Approximation".
• D.R. Harrington. "Multiple Scattering, the Glauber Approximation, and the Off-Shell Eikonal Approximation".

Спасылкі

• [1]Архівавана 31 жніўня 2021. Набліжэнне Эйконала К. Ст. Шаджеш, факультэт фізікі і астраноміі, Універсітэт Оклахомы