Непарыўная функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Непарыўная функцыя (непарыўнае адлюстраванне) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

ε-δ азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Continuidad de funciones 04.svg

Няхай D\subset\R і f: D\to\R.

Функцыя f называецца непарыўнаю ў пункце x_0\in D, калі для любога \varepsilon>0 існуе \delta>0 такое, што для любога

x\in D,\ |x-x_0|<\delta

справядліва

|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Функцыя f называецца непарыўнаю на мностве E, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя f належыць класу C^0, і пішуць: f\in C^0(E) ці, падрабязней, f\in C^0(E, \mathbb{R}).

Інакш кажучы, функцыя f непарыўная ў пункце x_0, гранічным для мноства D, калі f мае граніцу ў пункце x_0, і гэта граніца супадае са значэннем функцыі f(x_0).

Пункты разрыву[правіць | правіць зыходнік]

Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя мае ў дадзеным пункце разрыў. Іншымі словамі, калі A — значэнне функцыі f у пункце a, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з A. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі f у пункце a атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта A вобласці значэнняў функцыі f, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту a вобласці вызначэння функцыі f, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта A.

Continuidad de funciones 07.svg

Скасавальныя пункты разрыву[правіць | правіць зыходнік]

Калі граніца функцыі існуе, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:

\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a),

то пункт a называецца пунктам скасавальнага разрыву функцыі fкамплексным аналізескасавальны асаблівы пункт).

Калі «паправіць» функцыю f у пункце скасавальнага разрыву і прыняць f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x), то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца давызначэннем функцыі да непарыўнай ці давызначэннем функцыі па непарыўнасці, што і абгрунтоўвае назву, як пункта скасавальнага разрыву.

Пункты разрыву першага і другога роду[правіць | правіць зыходнік]

Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый аднабаковых граніц:

  • калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць пунктам разрыву першага роду;
  • калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць пунктам разрыву другога роду.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Лакальныя[правіць | правіць зыходнік]

  • Функцыя, непарыўная ў пункце a\,, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
  • Калі функцыя f\, непарыўная ў пункце a\, і f(a)>0\, (ці \,f(a)<0), то f(x)>0\, (ці \,f(x)<0) для ўсіх \,x, дастаткова блізкіх да \,a.
  • Калі функцыі f\, і g\, непарыўныя ў пункце \,a, то функцыі f+g\, і f \cdot g\, таксама непарыўныя ў пункце \,a.
  • Калі функцыі f\, і g\, непарыўныя ў кропцы a\, і пры гэтым \,g(a)\neq 0, то функцыя f/g\, таксама непарыўная ў кропцы \,a.
  • Калі функцыя f\, непарыўная ў пункце a\, і функцыя g\, непарыўная ў кропцы \,b=f(a), то іх кампазіцыя \,h=g\circ f непарыўная ў кропцы \,a.

Глабальныя[правіць | правіць зыходнік]

  • Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай кампактнай прасторы), раўнамерна непарыўная на ім.
  • Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым кампактным мностве), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
  • Вобласцю значэнняў функцыі f\,, непарыўнай на адрэзку \,[a,b], з'яўляецца адрэзак \,[\min f, \ \max f], дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку \,[a,b].
  • Калі функцыя f\, непарыўная на адрэзку \,[a,b] і \,f(a)\cdot f(b)<0, то існуе кропка \xi \in (a,b), у якой \,f(\xi)=0.
  • Калі функцыя f\, непарыўная на адрэзку \,[a,b] і лік \varphi\, задавальняе няроўнасць \,f(a)< \varphi < f(b) ці няроўнасць \,f(a)> \varphi > f(b), то існуе пункт \xi \in (a,b), у яком \,f(\xi)=\varphi.
  • Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга манатонная.
  • Манатонная функцыя на адрэзку \,[a,b] непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі f(a)\, і \,f(b).
  • Калі функцыі f\, і g\, непарыўныя на адрэзку \,[a,b], прычым \,f(a)< g(a) і \,f(b) > g(b), то існуе пункт \xi \in (a,b), у яком \,f(\xi)=g(\xi). Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін нерухомы пункт.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Элементарныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Адвольныя мнагачлены, рацыянальныя функцыі, паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

Функцыя са скасавальным разрывам[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}, вызначаная згодна з формулаю

f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\
0, & x = 0,
\end{cases}

непарыўная ў любым пункце x \neq 0. Пункт x=0 з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі

\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).

Функцыя знака[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя

f(x) = \sgn x = \begin{cases}
-1, & x < 0 \\
0, & x = 0 \\
1, & x > 0
\end{cases},\quad x\in \R

называецца функцыяй знака.

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце x \neq 0.

Пункт x=0 ёсць пунктам разрыву першага роду, прычым

\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x),

тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

Ступеньчатая функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Ступеньчатая функцыя, вызначаная як

f(x) = \begin{cases}
1,& x \geqslant 0\\
0, & x < 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}

усюды непарыўная, акрамя кропкі x=0, дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце x=0 існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам непарыўнай справа функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як

f(x) = \begin{cases}
1,& x > 0\\
0, & x \leqslant 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}

з'яўляецца прыкладам непарыўнай злева функцыі на ўсёй вобласці вызначэння.

Функцыя Дзірыхле[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя

f(x) = \begin{cases}
1,& x \in \mathbb{Q}\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}

называецца функцыяй Дзірыхле. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта характарыстычная функцыя мноства рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца ўсюды разрыўнаю функцыяй, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

Функцыя Рымана[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя

f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\ (m,n)=1\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}

называецца функцыяй Рымана.

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

Варыяцыі і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Раўнамерная непарыўнасць[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя f называецца раўнамерна непарыўнаю на E, калі для любога \varepsilon>0 існуе \delta>0 такое, што для любых двух пунктаў x_1 і x_2 такіх, што |x_1-x_2|<\delta, спраўджваецца |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве E функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

Паўнепарыўнасць[правіць | правіць зыходнік]

Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць знізу і паўнепарыўнасць зверху:

  • Функцыя f называецца паўнепарыўнаю знізу ў пункце a, калі для любога \varepsilon>0 існуе такое наваколле U_E(a), што f(x)>f(a)-\varepsilon для ўсякага x\in U_E(a);
  • Функцыя f называецца паўнепарыўнаю зверху ў пункце a, калі для любога \varepsilon>0 існуе такое наваколле U_E(a), што f(x)<f(a)+\varepsilon для ўсякага x\in U_E(a).

Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:

  • Калі ўзяць функцыю f, непарыўную ў кропцы a, і паменшыць значэнне f(a) (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную знізу ў кропцы a;
  • Калі ўзяць функцыю f, непарыўную ў кропцы a, і павялічыць значэнне f(a) (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную зверху ў кропцы a.

У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:

  • Калі f(a)=-\infty, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю знізу ў кропцы a;
  • Калі f(a)=+\infty, то будзем лічыць такую функцыю паўнепарыўнаю зверху ў кропцы a.

Аднабаковая непарыўнасць[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя f называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце x_0 сваёй вобласці вызначэння, калі для аднабаковае граніцы справядліва роўнасць:

f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-0} f(x)
\left(f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+0} f(x)\right)

Непарыўнасць амаль усюды[правіць | правіць зыходнік]

На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная мера Лебега. Калі функцыя f такая, што яна непарыўная ўсюды на E, акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца непарыўнаю амаль усюды.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Зорич В. А. Математический анализ, часть I — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

Commons