Камплексны аналіз

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Графік функцыі f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2 / (x2 + 2 + 2i). Насычанасць прадстаўляе аргумент функцыі, а яркасць — модуль.

Тэорыя функцый камле́кснай зменнай (часам таксама ўжываецца тэрмін кампле́ксны аналіз) — раздзел матэматычнага аналізу, які вывучае функцыі ад камплексных лікаў. Тэорыя знаходзіць прымяненне ў многіх галінах матэматыкі, у тым ліку ў алгебраічнай геаметрыі, тэорыі лікаў, прыкладной матэматыцы, а таксама ў фізіцы, у тым ліку гідрадынаміцы, тэрмадынаміцы, машынабудаванні, электратэхніцы і квантавай оптыцы.

Тэорыя функцый камлекснай зменнай у прыватнасці займаецца аналітычнымі функцыямі камплекснай зменнай (ці, больш агульна, мераморфнымі функцыямі). Рэчаісная і ўяўная часткі любой аналітычнай функцыі павінны задавальняць ураўненне Лапласа, адсюль натуральным чынам узнікае сувязь з гарманічнымі функцыямі ад дзвюх зменных. Таму камплексны аналіз шырока ўжываецца пры рашэнні двухмерных фізічных задач.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Камплексны аналіз з'яўляецца адным з класічных раздзелаў матэматыкі і ўзнікае ў канцы 18 стагоддзя. Яго распрацоўкай і развіццём займаліся такія выдатныя навукоўцы, як Леанард Ойлер, Карл Фрыдрых Гаус, Бернхард Рыман, Агюстэн Кашы, Карл Ваерштрас, а таксама многія іншыя ў 20-м стагоддзі. Камплексны аналіз, у прыватнасці, тэорыя канформных адлюстраванняў, мае шмат фізічных прымяненняў, а таксама шырока выкарыстоўваецца ў аналітычнай тэорыі лікаў. У наш час тэорыя стала вельмі папулярнай дзякуючы камплекснай дынаміцы і выявам фракталаў, створаных шляхам ітэрацыі галаморфных функцый. Іншае важнае прымяненне камплекснага аналізу — у тэорыі струн, што вывучае конформныя інварыянты ў квантавай тэорыі поля.

Камплексныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Камплексная функцыя — функцыя, у якой як незалежная зменная, так і значэнне з'яўляюцца камплекснымі лікамі. Дакладней, камплекснай функцыяй называецца функцыя, абсяг вызначэння і абсяг значэнняў з'яўляюцца падмноствамі камплекснай плоскасці.

Кожная камплексная функцыя w = f(z) = f(x+iy) можа разглядацца як пара рэчаісных функцый ад дзвюх зменных:

f ( z ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ),

якія вызначаюць яе рэчаісную і ўяўную частку адпаведна. Функцыі u, v называюцца кампанентамі камплекснай функцыі f ( z ).

Паняцце граніцы для паслядоўнасці і функцыі азначаецца так жа, як і ў рэчаісным выпадку, з заменай абсалютнай велічыні на камплексны модуль.

Існаванне граніцы камлекснай функцыі ў пункце

\lim_{z \to a + bi} f(z) = A + Bi

раўназначна адначасоваму існаванню граніц яе рэчаіснай і ўяўнай часткі:

\lim_{ x \to a , \; y \to b } u(x, y) = A,
\lim_{ x \to a , \; y \to b } v(x, y) = B.

Непарыўнасць камплекснай функцыі вызначаецца гэтак жа, як у рэчаісным выпадку, і яна эквівалентная непарыўнасці абедзвюх яе кампанент.