Няроўнасць

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Няроўнасць[правіць | правіць зыходнік]

Няро́ўнасць — суадносіна між дзвюма аб'ектамі (лікамі, велічынямі, выразамі), у якім адзін з аб'ектаў большы (не большы) за іншы.

Адрозніваюць строгую і нястрогую няроўнасць. Нястрогая няроўнасць, у адрозненне ад строгай, дапушчае магчымасць роўнасці выразаў.

Няроўнасць абазначацца наступнымі знакамі:

  • строгая няроўнасць
    • «>» (больш): «a > b» азначае «a больш за b»
~ a > b \ \Leftrightarrow \ a \ge b \ \land \ a \ne b
    • «<» (менш): «a < b» азначае «a менш за b»
~ a < b \ \Leftrightarrow \ a \le b \ \land \ a \ne b
  • нястрогая няроўнасць
    • «≥» (больш або роўна): «a ≥ b» азначае «a больш або роўна да b» або «a не менш за b»
~ a \ge b \ \Leftrightarrow \ a > b \ \lor \ a = b
    • «≤» (менш або роўна): «a ≤ b» азначае «a менш або роўна да b» або «a не больш за b».
~ a \le b \ \Leftrightarrow \ a < b \ \lor \ a = b

Для любых двух аб'ектаў a і b мае месца адна, і толькі адна з суадносін:

  • a > b
  • a = b
  • a < b

Няроўнасць з'яўляецца адносінай парадку, гэта значыць, яна з'яўляецца транзітыўнай, антысіметрычнай і рэфлексіўнай (для нястрогай) або антырэфлексіўнай (для строгай няроўнасці).

Лікавая няроўнасць[правіць | правіць зыходнік]

Напрыклад, трэба параўнаць лікі \frac{4}{5} i \frac{3}{4}. Для гэтага знойдзем іх рознасць:

\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{16-15}{20}=\frac{1}{20}

.



Значыць, \frac{4}{5}=\frac{3}{4}+\frac{1}{20}., г. зн. \frac{4}{5} атрымліваецца прыбаўленнем да ліку \frac{3}{4} дадатнага ліку \frac{1}{20}. Гэта адзначае, што лік \frac{4}{5} большы за \frac{3}{4} на \frac{1}{20}. Такім чынам, \frac{4}{5}>\frac{3}{4}, паколькі іх рознасць дадатная.

Складанне лікавых няроўнасцей[правіць | правіць зыходнік]

Пры складанні няроўнасцей аднолькавага знака атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі ~a>c i ~c>d , то ~a+c>b+d .

Множанне лікавых няроўнасцей[правіць | правіць зыходнік]

Пры множанні няроўнасцей аднолькавага знака, у якіх левыя і правыя часткі дадатныя, атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі ~a>c, ~ c>d і ~a,b,c,d - дадатныя лікі, то ~ac>bd.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі ~a>b i ~b>c, то ~a>c.
  • Калі да абедзвюх частак няроўнасцей дадаюць адзін і той жа лік, то знак няроўнасці не зменіцца.
  • Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа дадатны лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа адмоўны лік, то знак няроўнасці зменіцца на процілеглы.