Няроўнасць

Няроўнасць

Няро́ўнасць — суадносіна між дзвюма аб'ектамі (лікамі, велічынямі, выразамі), у якім адзін з аб'ектаў большы (не большы) за іншы.

Адрозніваюць строгую і нястрогую няроўнасць. Нястрогая няроўнасць, у адрозненне ад строгай, дапушчае магчымасць роўнасці выразаў.

Няроўнасць абазначацца наступнымі знакамі:

• строгая няроўнасць
  • «>» (больш): «a > b» азначае «a больш за b»

$~ a > b \ \Leftrightarrow \ a \ge b \ \land \ a \ne b$

• • «<» (менш): «a < b» азначае «a менш за b»

$~ a < b \ \Leftrightarrow \ a \le b \ \land \ a \ne b$

• нястрогая няроўнасць
  • «≥» (больш або роўна): «a ≥ b» азначае «a больш або роўна да b» або «a не менш за b»

$~ a \ge b \ \Leftrightarrow \ a > b \ \lor \ a = b$

• • «≤» (менш або роўна): «a ≤ b» азначае «a менш або роўна да b» або «a не больш за b».

$~ a \le b \ \Leftrightarrow \ a < b \ \lor \ a = b$

Для любых двух аб'ектаў a і b мае месца адна, і толькі адна з суадносін:

• a > b
• a = b
• a < b

Няроўнасць з'яўляецца адносінай парадку, гэта значыць, яна з'яўляецца транзітыўнай, антысіметрычнай і рэфлексіўнай (для нястрогай) або антырэфлексіўнай (для строгай няроўнасці).

Лікавая няроўнасць

Напрыклад, трэба параўнаць лікі $\frac{4}{5} i \frac{3}{4}$. Для гэтага знойдзем іх рознасць:

$\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{16-15}{20}=\frac{1}{20}$

.

Значыць, $\frac{4}{5}=\frac{3}{4}+\frac{1}{20}$., г. зн. $\frac{4}{5}$ атрымліваецца прыбаўленнем да ліку $\frac{3}{4}$ дадатнага ліку $\frac{1}{20}$. Гэта адзначае, што лік $\frac{4}{5}$ большы за $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{20}$. Такім чынам, $\frac{4}{5}>\frac{3}{4}$, паколькі іх рознасць дадатная.

Складанне лікавых няроўнасцей

Пры складанні няроўнасцей аднолькавага знака атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі $~a>c$ i $~c>d$, то $~a+c>b+d$.

Множанне лікавых няроўнасцей

Пры множанні няроўнасцей аднолькавага знака, у якіх левыя і правыя часткі дадатныя, атрымліваецца няроўнасць таго ж знака:
калі $~a>c$, $~ c>d$ і $~a,b,c,d$ - дадатныя лікі, то $~ac>bd$.

Уласцівасці

• Калі $~a>b$ i $~b>c$, то $~a>c$.

• Калі да абедзвюх частак няроўнасцей дадаюць адзін і той жа лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

• Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа дадатны лік, то знак няроўнасці не зменіцца.

Калі абедзве часткі няроўнасці памножыць на адзін і той жа адмоўны лік, то знак няроўнасці зменіцца на процілеглы.