Рэзультант

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Рэзульта́нт − лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў. З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра, або праз карані мнагачленаў. Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.

Праз вызначнік матрыцы Сільвестра[правіць | правіць зыходнік]

Для двух мнагачленаў

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,
g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0

рэзультант азначаюць як вызначнік матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра) парадку m + n:[1]


R(f,g) = \left|
\begin{array}{cccccccc}
a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
& a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
& & \ddots & \ddots & \dots & \ddots & \ddots\\
& & & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\
b_m & b_{m-1} & \dots & b_1 & b_0\\
& b_m & b_{m-1} & \dots & b_1 & b_0\\
& & \ddots & \ddots & \dots & \ddots & \ddots\\
& & & b_m & b_{m-1} & \dots & b_1 & b_0
\end{array}
\right|,

дзе на свабодных месцах стаяць нулі.

Праз карані мнагачленаў[правіць | правіць зыходнік]

Няхай

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,
g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0.

Калі \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n − карані мнагачлена f(x), а \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m − карані g(x), то рэзультант вызначаюць як[2]


R(f,g) = a_n^m b_m^n \prod_{1\le i\le n \atop 1\le k\le m} (\alpha_i - \beta_k).

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Рэзультант пары мнагачленаў роўны нулю, калі і толькі калі яны маюць агульны корань.

Тоеснасці[правіць | правіць зыходнік]

Няхай f і g − мнагачлены, і deg f = n, deg g = m.

  • R(f,g) = a_n^m \prod_{i=1}^n g(\alpha_i) = (-1)^{m\cdot n} b_m^n \prod_{k=1}^m f(\beta_k)
  • R(g,f) = (-1)^{m\cdot n} R(f,g)
  • R(fh, g) = R(f,g) R(h,g)
  • Калі p = f + g h і deg p = deg f, то
    R(p,g) = R(f,g)

Сувязь з дыскрымінантам (адрознікам)[правіць | правіць зыходнік]

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку. Тады для любога мнагачлена f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 \in K[x] праўдзіцца тоеснасць[2]


a_n D(f) = (-1)^{n(n-1)/2} R(f,f').

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. 2,0 2,1 Курош А.Г. Курс высшей алгебры — Москва: Наука, 1968.

Крыніцы і спасылкі[правіць | правіць зыходнік]