Дыскрымінант

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Дыскрыміна́нт[1] (лац.: discriminare − падзяляць, адрозніваць) або адро́знік[2] мнагачлена − лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так для мнагачлена

P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

D(P) = a_n^{2n-2} \prod_{1\le i < k\le n} (\alpha_i - \alpha_k)^2,

дзе \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n − карані мнагачлена P(x) (г.зн. развязкі ўраўнення P(x) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення P(x) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена P(x).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення[правіць | правіць зыходнік]

Развязкі (карані) квадратнага ўраўнення

a x^2 + b x + c = 0

з рэчаіснымі каэфіцыентамі a, b і c можна вылічыць па формуле

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.

Колькасць рэчаісных развязкаў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

b^2 - 4 a c

называюць дыскрымінантам (адрознікам) квадратнага ўраўнення

a x^2 + b x + c = 0

і пазначаюць праз D.

  • Калі D > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісных развязкі x_1 і x_2.
  • Калі D = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
  • Калі D < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў \mathbb{R}. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць развязкі над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) развязкі, якія ёсць камплексна спалучанымі ў дачыненні адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку[правіць | правіць зыходнік]

Няхай f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\in R[x]мнагасклад n-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці R (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай K ёсць полем раскладання мнагаскладу f (г.зн. у гэтым полі мнагасклад f раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагаскладу вызначаюць як[1][3]

D(f)=a_n^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2,

дзе \alpha_1,\ldots,\alpha_nкарані мнагаскладу f, якія ляжаць у полі K.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці R існуе поле раскладання. Так, поле дзеляў Q колца R з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца R. І ў якасці поля раскладання K можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Q.

Уласцівасці адрозніка (дыскрымінанта)[правіць | правіць зыходнік]

Сувязь з рэзультантам[правіць | правіць зыходнік]

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагаскладу f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0 над полем K можна вылічыць як рэзультант мнагаскладу f і яго вытворнай f', падзелены на старшы каэфіцыент a_n:[4]

D(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} R(f,f').

Адсюль вынікае тоеснасць

D(f)=(-1)^{n(n-1)/2} a_n^{n-2} \prod_{i=1}^n f'(\alpha_i).

Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагаскладу[правіць | правіць зыходнік]

Рэзультант мнагаскладу f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0 і яго вытворнай f'(x)=n a_n x^{n-1} + \dots + a_1 роўны вызна́чніку пэўнай (2n − 1)×(2n − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле K мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:


D(f)=\frac{(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}}{a_n}\,
\det \begin{pmatrix}
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots &  0\\
  0 & 0 &  0 & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 \\
n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\
  0 & n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 & \cdots &  0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\
  0 & 0 & 0 & n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & n a_{n} & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 \\
\end{pmatrix}.

Пры вылічэнні вызна́чніка з першага слупка можна вынесці множнік a_n, які скароціцца.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Адрознік квадратнага мнагачлена a x2 + b x + c роўны
    D = b^2 - 4ac.
  • Адрознік кубічнага мнагачлена a x3 + b x2 + c x + d раўняецца[3]
    D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd.
  • Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 роўны
    D = \begin{vmatrix}
 1~ & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
 0~ & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
 0~ & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
 4~ & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
 0~ & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
 0~ & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1&  0 \\
 0~ & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. 1,0 1,1 Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  3. 3,0 3,1 Винберг Э.Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.
  4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры — Москва: Наука, 1968.

Крыніцы і спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  • Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В.І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.
  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
  • Weisstein, Eric W. Polynomial Discriminant(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.