Дыскрымінант

Дыскрыміна́нт (лац.: discriminare − падзяляць, адрозніваць) або адро́знік мнагачлена − лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так для мнагачлена

$P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$

дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

$D(P) = a_n^{2n-2} \prod_{1\le i < k\le n} (\alpha_i - \alpha_k)^2,$

дзе $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ − карані мнагачлена P(x) (г.зн. развязкі раўнання P(x) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага раўнання P(x) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена P(x).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратовага раўнання.

Дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення

Развязкі (карані) квадратнага ўраўнення

$a x^2 + b x + c = 0$

з рэчаіснымі каэфіцыентамі a, b і c можна вылічыць па формуле

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$

Колькасць рэчаісных развязкаў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

$b^2 - 4 a c$

называюць дыскрымінантам (адрознікам) квадратнага ўраўнення

$a x^2 + b x + c = 0$

і пазначаюць праз D.

• Калі D > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісных развязкі $x_1$ і $x_2$.
• Калі D = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем раўнання, або коранем кратнасці 2).
• Калі D < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан ў полі рэчаісных лікаў $\mathbb{R}$. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць развязкі над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) развязкі, якія ёсць камплексна спалучанымі ў дачыненні адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку

Няхай $f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\in R[x]$ − мнагасклад n-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці R (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай K ёсць полем раскладання мнагаскладу $f$ (г.зн. у гэтым полі мнагасклад $f$ раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагаскладу вызначаюць як

$D(f)=a_n^{2n-2}\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_i-\alpha_j)^2,$

дзе $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ − карані мнагаскладу $f$, якія ляжаць у полі K.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці R існуе поле раскладання. Так, поле дзеляў Q колца R ёсць найменшым полем, якое змяшчае колца R. І ў якасці поля раскладання K можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Q.

Уласцівасці адрозніка (дыскрымінанта)

Сувязь з рэзультантам

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагаскладу $f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0$ над полем K можна вылічыць як рэзультант мнагаскладу $f$ і яго вытворнай $f'$, падзелены на старшы каэфіцыент $a_n$:

$D(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} R(f,f').$

Адсюль вынікае тоеснасць

$D(f)=(-1)^{n(n-1)/2} a_n^{n-2} \prod_{i=1}^n f'(\alpha_i).$

Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагаскладу

Рэзультант мнагаскладу $f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0$ і яго вытворнай $f'(x)=n a_n x^{n-1} + \dots + a_1$ роўны вызна́чніку пэўнай (2n − 1)×(2n − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле K мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

$D(f)=\frac{(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}}{a_n}\, \det \begin{pmatrix} a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 \\ n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\ 0 & n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n a_{n} & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 \\ \end{pmatrix}.$

Пры вылічэнні вызна́чніка з першага слупка можна вынесці множнік $a_n$, які скароціцца.

Прыклады

• Адрознік квадратнага мнагачлена a x² + b x + c роўны

  $D = b^2 - 4ac.$

• Адрознік кубічнага мнагачлена a x³ + b x² + c x + d раўняецца

  $D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd.$

• Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ роўны

  $D = \begin{vmatrix} 1~ & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ 0~ & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ 0~ & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ 4~ & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0~ & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\ 0~ & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\ 0~ & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\ \end{vmatrix}.$

Гл. таксама

• Рэзультант
• Дыскрымінант поля

Крыніцы і спасылкі

• Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В.І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.
• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Weisstein, Eric W. Polynomial Discriminant(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.