Хвалевы лік

Хвалевы лік
$\ k$
Размернасць	L−1
Адзінкі вымярэння
СІ	м−1
СГС	см−1
Заўвагі
скаляр

Хвалевы лік (або, іншы раз, прасторавая частата) — гэта дзель 2π радыян на даўжыню хвалі:

$k:={\frac {2\pi }{\lambda }}.$

Хвалевы лік з'яўляецца прасторавым аналагам кругавой частаты.

У аднамерным выпадку хвалеваму ліку звычайна прыпісваюць знак мінус, калі хваля распаўсюджваецца ў адмоўным напрамку (супраць восі). У многамернам — гэта звычайна сінонім абсалютнай велічыні хвалевага вектара або яго кампанент (некалькі хвалевых лікаў па колькасці восей каардынат), таксама можа быць праекцыяй хвалевага вектара на некаторы пэўны выбраны кірунак.

Хвалевы лік звычайна абазначаюць як k.

Адзінка вымярэння — рад·м⁻¹, фізічная размернасць м⁻¹. (У сістэме СГС: см⁻¹).

У спектраскапіі хвалевым лікам часта называюць велічыню, адваротную даўжыні хвалі (1/λ), і вымяраюць яе звычайна ў адваротных сантыметрах (см⁻¹). Такое вызначэнне адрозніваецца ад звычайнага адсутнасцю множніка 2π.

Выкарыстоўваецца у фізіцы, матэматыцы (пераўтварэнне Фур'е) і такіх прыкладаннях, як апрацоўка выяў.

Азначэнне

Хвалевым лікам k называецца хуткасць росту фазы хвалі φ па прасторавай каардынаце

$k:={\frac {d\varphi }{dx}}.$

У большасці выпадкаў хвалевы лік мае сэнс толькі ў дачыненні да монахраматычнай хвалі (строга монахраматычнай або, прынамсі, амаль монахраматычнай), вытворную ў азначэнні можна (для гэтых самых распаўсюджаных выпадкаў) замяніць на выраз з канечнымі рознасцямі:

$k:={\frac {\Delta \varphi }{\Delta x}}.$

Зыходзячы з гэтага можна атрымаць розныя больш-менш зручныя фармулёўкі :

• Хвалевы лік ёсць рознасць фазы хвалі (у радыянах) у адзін і той жа момант часу ў пунктах прасторы на адлегласці адзінкі даўжыні (аднаго метра).
• Хвалевы лік значыць колькасць прасторавых перыядаў (гарбоў) хвалі, якія прыходзяцца на 1 метр.
• Хвалевы лік роўны ліку перыядаў хвалі, якія ўкладваюцца ў адрэзак 2π метраў.

Асноўныя суадносіны

$k:={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\varphi }}}={\frac {\omega }{v_{\varphi }}},$

дзе:

λ — даўжыня хвалі,

$\nu$ (грэчаская літара «ню») — частата,

$v_{\varphi }$ — фазавая скорасць хвалі,

ω — вуглавая частата.

Для монахраматычнай бягучай хвалі можна запісаць:

$\varphi =kx-\omega t$

 — для фазы,

$u(x,t)=\mathrm {const} \cdot \mathrm {cos} (kx-\omega t+\varphi _{0})$

 — для самой хвалі,

або

$u(x,t)=\mathrm {const} \cdot e^{i(kx-\omega t)}$

 — для камплекснай хвалі; тут $\varphi _{0}$ можа быць схавана у const,

для монахраматычнай стаячай хвалі:

$u(x,t)=\mathrm {const} \cdot \mathrm {cos} (k(x-x_{0}))\cdot \mathrm {cos} (\omega (t-t_{0})).$

Заўвагі

Хвалевы лік дакладна вызначан для монахраматычнай хвалі. На хвалі іншага выгляду хвалевы лік абагульняецца з дапамогай паняцця спектра (г.зн. праз пераўтварэнне Фур'е), гэта значыць, немонахраматычная хваля, увогуле кажучы, ўтрымлівае у розных прапорцыях монахраматычныя кампаненты з рознымі хвалевымі лікамі; зрэшты, амаль монахраматычную хвалю можна прыбліжана апісаць як хвалю з пэўным хвалевым лікам (яе спектр у асноўным засяроджаны паблізу аднаго значэння хвалевага колькасці).

Часам, напрыклад, у квазігеаметрычным (квазікласічным) прыбліжэнні, можна лічыць, быццам хвалевы лік (хвалевы вектар) павольна змяняецца ў прасторы, г.зн. разглядаць хвалю не як монахраматычную, а як квазімонахраматычную. У гэтым выпадку, натуральна, лепш выкарыстоўваць азначэнне хвалевага ліку (хвалевага вектара) праз вытворную, а не праз канечныя рознасці.

Па сутнасці, мабыць, адзіны фізічна асэнсаваны выпадак, калі хвалевы лік (хвалевы вектар) можа змяняцца разам з x, наогул кажучы, нават вельмі хутка, гэта выпадак фармалізму інтэграла па траекторыях. У гэтым выпадку разглядаюцца хвалі вельмі спецыяльнага віду:

$u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},$

для якіх згаданае цалкам карэктна і асэнсавана.

Хвалевы лік ў квантавай фізіцы

У квантавай фізіцы звязваецца з кампанентай імпульсу па гэтым напрамку:

$p_{x}=\hbar k_{x},$

дзе

$p_{x}$ — кампанента імпульсу па кірунку x (для аднамернай сістэмы — поўны імпульс),

$k_{x}$ — хвалевы лік (кампанента хвалевага вектара) па кірунку x (для аднамернай сістэмы — проста хвалевы лік),

$\hbar$ — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака).

Пастаянная Планка — універсальная канстанта, таму можна выбарам сістэмы адзінак проста зрабіць $\hbar =1.$ Тады

$p_{x}=k_{x},$

гэта значыць у квантавай фізіцы паняцці кампаненты імпульсу і хвалевага ліку па сутнасці супадаюць. Гэта можна лічыць адным з фундаментальных прынцыпаў квантавай механікі.

Тое ж можна сказаць для абсалютнай велічыні поўнага імпульсу і хвалевага ліку:

$p=\hbar k,$

а у адзінках $\hbar =1$:

$p=k.$

У асобным выпадку, для святла ў вакууме (і, у прынцыпе, любых іншых бязмасавых палёў; прыбліжана — для ультрарэлятывісцкіх часціц) можна таксама напісаць:

$k={\frac {E}{\hbar c}},$

дзе

$E$ — энергія,

$\hbar$ — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака),

$c$ — скорасць святла у вакууме.

Гл. таксама

• Хвалевы вектар