Хвалевы лік

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Хвалевы лік
\ k
Размернасць

L−1

Адзінкі вымярэння
СІ

м−1

СГС

см−1

Заўвагі

скаляр

Хвалевы лік (або, іншы раз[1], прасторавая частата) — гэта дзель 2π радыян на даўжыню хвалі:

k := \frac{2\pi}{\lambda}.

Хвалевы лік з'яўляецца прасторавым аналагам кругавой частаты[2].

У аднамерным выпадку хвалеваму ліку звычайна прыпісваюць знак мінус, калі хваля распаўсюджваецца ў адмоўным напрамку (супраць восі). У многамернам — гэта звычайна сінонім абсалютнай велічыні хвалевага вектара або яго кампанент (некалькі хвалевых лікаў па колькасці восей каардынат), таксама можа быць праекцыяй хвалевага вектара на некаторы пэўны выбраны кірунак.

Хвалевы лік звычайна[3] абазначаюць як k.

Адзінка вымярэння — рад·м-1, фізічная размернасць м-1. (У сістэме СГС: см-1).

У спектраскапіі хвалевым лікам часта называюць велічыню, адваротную даўжыні хвалі (1/λ), і вымяраюць яе звычайна ў адваротных сантыметрах (см-1). Такое вызначэнне адрозніваецца ад звычайнага адсутнасцю множніка 2π.

Выкарыстоўваецца у фізіцы, матэматыцы[4] (пераўтварэнне Фур'е) і такіх прыкладаннях, як апрацоўка выяў.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Хвалевым лікам k называецца хуткасць росту фазы хвалі φ па прасторавай каардынаце[5]

k := \frac{d \varphi}{ dx}.

У большасці выпадкаў хвалевы лік мае сэнс толькі ў дачыненні да монахраматычнай хвалі (строга монахраматычнай або, па крайняй меры, амаль монахраматычнай), вытворную ў азначэнні можна (для гэтых самых распаўсюджаных выпадкаў) замяніць на выраз з канечнымі рознасцямі:

k := \frac{\Delta \varphi}{ \Delta x}.

Зыходзячы з гэтага можна атрымаць розныя больш-менш зручныя фармулёўкі [6]:

  • Хвалевы лік ёсць рознасць фазы хвалі (у радыянах) у адзін і той жа момант часу ў пунктах прасторы на адлегласці адзінкі даўжыні (аднаго метра).
  • Хвалевы лік значыць колькасць прасторавых перыядаў (гарбоў) хвалі, якія прыходзяцца на 1 метр.
  • Хвалевы лік роўны ліку перыядаў хвалі, якія ўкладваюцца ў адрэзак 2π метраў.

Асноўныя суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

k := \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi\nu}{v_{\varphi}}=\frac{\omega}{v_{\varphi}},

дзе:

λ — даўжыня хвалі,
\nu (грэчаская літара «ню») — частата,
v_\varphi — фазавая хуткасць хвалі,
ωвуглавая частата.

Для монахраматычнай бягучай хвалі можна запісаць:

\varphi = k x - \omega t
— для фазы,
u(x,t) = \mathrm{const}\cdot \mathrm{cos}(k x - \omega t + \varphi_0)
— для самой хвалі,

або

u(x,t) = \mathrm{const}\cdot e^{i(k x - \omega t)}
— для камплекснай хвалі; тут \varphi_0 можа быць схавана у const,

для монахраматычнай стаячай хвалі:

u(x,t) = \mathrm{const}\cdot \mathrm{cos}(k(x-x_0))\cdot \mathrm{cos}(\omega (t-t_0)).

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

Хвалевы лік дакладна вызначан для монахраматычнай хвалі. На хвалі іншага выгляду хвалевы лік абагульняецца з дапамогай паняцця спектра (г.зн. праз пераўтварэнне Фур'е), гэта значыць, немонахраматычная хваля, увогуле кажучы, ўтрымлівае у розных прапорцыях монахраматычныя кампаненты з рознымі хвалевымі лікамі; зрэшты, амаль монахраматычную хвалю можна прыбліжана апісаць як хвалю з пэўным хвалевым лікам (яе спектр у асноўным засяроджаны паблізу аднаго значэння хвалевага колькасці).

Часам, напрыклад, у квазігеаметрычным (квазікласічным) прыбліжэнні, можна лічыць, быццам хвалевы лік (хвалевы вектар) павольна змяняецца ў прасторы, г.зн. разглядаць хвалю не як монахраматычную, а як квазімонахраматычную. У гэтым выпадку, натуральна, лепш выкарыстоўваць азначэнне хвалевага ліку (хвалевага вектара) праз вытворную, а не праз канечныя рознасці.

Па сутнасці, мабыць, адзіны фізічна асэнсаваны выпадак, калі хвалевы лік (хвалевы вектар) можа змяняцца разам з x, наогул кажучы, нават вельмі хутка, гэта выпадак фармалізму інтэграла па траекторыях. У гэтым выпадку разглядаюцца хвалі вельмі спецыяльнага віду:

u(x,t) = e^{i\int(k dx - \omega dt)},

для якіх згаданае цалкам карэктна і асэнсавана.

Хвалевы лік ў квантавай фізіцы[правіць | правіць зыходнік]

У квантавай фізіцы звязваецца з кампанентай імпульсу па гэтым напрамку:

p_x = \hbar k_x,

дзе

p_x — кампанента імпульсу па кірунку x (для аднамернай сістэмы — поўны імпульс),
k_x — хвалевы лік (кампанента хвалевага вектара) па кірунку x (для аднамернай сістэмы — проста хвалевы лік),
\hbar — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака).

Пастаянная Планка — універсальная канстанта, таму можна выбарам сістэмы адзінак проста зрабіць \hbar = 1. Тады

p_x = k_x,

гэта значыць у квантавай фізіцы паняцці кампаненты імпульсу і хвалевага ліку па сутнасці супадаюць. Гэта можна лічыць адным з фундаментальных прынцыпаў квантавай механікі.

Тое ж можна сказаць для абсалютнай велічыні поўнага імпульсу і хвалевага ліку:

p = \hbar k,

а у адзінках \hbar = 1:

p = k.

У асобным выпадку, для святла ў вакууме (і, у прынцыпе, любых іншых бязмасавых палёў; прыбліжана — для ультрарэлятывісцкіх часціц) можна таксама напісаць:

k = \frac{E}{\hbar c},

дзе

Eэнергія,
\hbar — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака),
cхуткасць святла у вакууме.

Зноскі

  1. Гэта практычна поўныя сінонімы, якія толькі трохі адрозніваюцца традыцыйнымі перавагамі ўжывання ў розных галінах. Так, тэрмін хвалевы лік у асноўным ужываецца ў фізіцы (зрэшты, разам з тэрмінам прасторавая частата), у матэматыцы ж і розных прыкладаннях (такіх, як апрацоўка малюнкаў) звычайна ўжываецца для падобнага паняцця тэрмін прасторавая частата ці нават проста частата. Дадаткова заўважым, што для тэрміна прасторавая частата (частата) нярэдка дапускаецца многамернае разуменне, г.зн. ён ўжываецца і ў якасці практычнага сіноніма тэрміна хвалевы вектар, тады як для тэрміна хвалевы лік такое ўжыванне па зразумелых прычынах будзе няслушным, бо хвалевы лік — абсалютная велічыня ("даўжыня") хвалевага вектара. Зрэшты, кампаненты хвалевага вектара могуць называцца хвалевымі лікамі па восях каардынат.
  2. Кругавая частата вымяраецца ў радыянах у секунду, хвалевы лік — у радыянах на метр.
  3. Могуць ужывацца і іншыя абазначэнні, але гэта, як правіла, агаворваецца яўна.
  4. У матэматыцы (і шматлікіх прыкладаннях) — у асноўным у тэрміналагічнай форме прасторавая частата ці нават проста частата.
  5. У аднамерным выпадку выбар прасторавай каардынаты адназначны (з дакладнасцю да люстранога адлюстравання), у шматмерным жа выпадку па змаўчанні каардыната x выбіраецца так, каб супадаць з кірункам максімальнай хуткасці росту фазы, гэта значыць перпендыкулярна фазаваму фронту; у гэтым выпадку хвалевы лік ёсць абсалютная велічыня хвалевага вектара. Нарэшце, іншы раз кірунак x задаецца яўна і можа не супадаць са згаданым толькі што; тады звычайна кажуць аб хвалевым ліку па кірунку x і яўна пазначаюць гэта: k_x.
  6. Уключаючы і фармулёўку ў пачатку артыкула

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]