Камплексны лік

Кампле́ксныя лі́кі — пашырэнне мноства сапраўдных лікаў, звычайна пазначаецца $\mathbb{C}$. Любы камплексны лік можа быць прадстаўлены як фармальная сума $x + iy$, дзе $x$ і $y$ — сапраўдныя лікі, $i$ — уяўная адзінка, гэта значыць адно з лікаў, якія задавальняюць раўнанню $i^2=-1$. Агульнапрынятым вымаўленнем з'яўляецца кампле́ксны лік, хаця вымаўленне ко́мплексны лік таксама сустракаецца.

Камплексныя лікі ўтвараюць алгебраічна замкнёнае поле — гэта азначае, што паліном ступені $n$ з камплекснымі каэфіцыентамі мае роўна $n$ камплексных каранёў, гэта азначае дакладнасць асноўная тэарэмы алгебры.

Азначэнні

Стандартнае

Фармальна, камплексны лік $z$ — гэта спарадкаваная пара сапраўдных лікаў $(x, y)$ з уведзенымі на іх наступным чынам аперацыямі складання і множання:

• $(x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,$
• $(x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,$

Уяўная адзінка ў такой сістэме ўяўляецца парай $i=(0,1) \,$. Таму хібна азначэнне ліку $i$ як адзінага ліку, які задавальняе раўнанню $i^2=-1$, бо лік $(-i)$ таксама задавальняе гэтаму раўнанню. Варта таксама зазначыць, што выраз выгляду $i=\sqrt{-1}$ некарэктна, бо алгебраічны корань вызначаецца над мноствам неадмоўных лікаў.

Матрычнае

Камплексныя лікі можна таксама вызначыць як сямейства сапраўдных матрыц выгляду

$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix}$

са звычайным матрычным складаннем і множаннем. Сапраўднай адзінцы будзе адпавядаць

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$

, уяўнай адзінцы —

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$

усе гэтыя азначэнні прыводзяць да ізаморфных пашырэнняў поля сапраўдных лікаў $\R$, як і любыя іншыя канструкцыі палі раскладання палінома x²+1

Дзеянні над камплекснымі лікамі

• Складанне

  $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

• Адыманне

  $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

• Множанне

  $(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

• Дзяленне

  $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$

Звязаныя азначэнні

Камплексная пераменная звычайна пазначаецца $z$. Хай $x$ і $y$ ёсць сапраўдныя лікі, такія, што $z=x+iy$. Тады

• Лікі $x = \Re(z)$ або $\operatorname{Re}(z)$ і $y = \Im(z)$ або $\operatorname{Im}(z)$ завуцца адпаведна сапраўднай (Real) і уяўнай (Imaginary) часткамі $z$.
  • Калі $x=0$, то $z$ завецца уяўным або чыста ўяўным.
• Камплексны лік $\bar z=x-iy$ завецца спалучаным (або комплексна спалучаным) да $z$.
• Лік $|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}$ завецца модулем ліку $z$
• Вугал $\varphi$ такі, што $\cos \varphi = x \cdot |z|^{-1}$ і $\sin \varphi = y \cdot |z|^{-1}$, завецца аргументам $z$.

Паданне камплексных лікаў

Алгебраічная форма

Запіс камплекснага ліку $z$ у выглядзе $x + iy$, $x,y\in\R$, завецца алгебраічнай формай камплекснага ліку.

Сума і твор камплексных лікаў могуць быць вылічаная непасрэдным сумаваннем і перамнажэннем такіх выразаў, з улікам тоеснасці $i^2 = -1$.

Трыганаметрычная і паказальная формы

Калі сапраўдную $x$ і ўяўную $y$ часткі камплекснага ліку выказаць праз модуль $r=|z|$ і аргумент $\varphi$ ($x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$), то камплексны лік $z$ можна запісаць у трыганаметрычнай форме

$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$.

Таксама можа быць карысная наступная форма запісу камплексных лікаў, цесна звязаная з трыганаметрычнай праз формулу Эйлера

$z=re^{i\varphi}$,

дзе $e^{i\varphi}$ — пашырэнне экспаненты для выпадку камплекснага паказчыку ступені.

Геаметрычнае паданне

Калі на плоскасці па восі абсцыс размясціць сапраўдную частку, а па восі ардынат — уяўную, то камплекснаму ліку будзе адпавядаць кропка з дэкартавымі каардынатамі $x$ і $y$ (або яе радыўс-вектар, што тое ж самае), а модуль і аргумент будуць палярнымі каардынатамі гэтай кропкі.

У геаметрычным паданні сума камплексных лікаў адпавядае вектарнай суме адпаведных вектараў. Пры перамнажэнні камплексных лікаў іх модулі перамнажаюцца, а аргументы складаюцца. Адгэтуль, у прыватнасці, атрымоўваецца Формула Муавра.

Формула Муаўра

Формула, якая дазваляе ўзводзіць у ступень камплексны лік, які прадстаўлены ў трыганаметрычнай форме. Формула Муаўра мае выгляд:

$z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi)$,

дзе $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент камплекснага ліку. У сучаснай сімволіцы яна апублікаваная Эйлерам у 1722 г.

Гэтая формула дастасавальная пры вылічэнні каранёў n-й ступені з камплекснага ліку.

$z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =$
$= r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$
$\quad k=0,1..n-1$

Гісторыя

Упершыню, відаць, уяўныя велічыні з'явіліся ў вядомай працы «Вялікае мастацтва, або аб алгебраічных правілах» Кардана (1545), які злічыў іх непрыдатнымі да ўжывання.

Карысць уяўных велічынь, у прыватнасці, пры рашэнні кубічнага раўнання, у так званым непрыводзімым выпадку (калі рэчыўныя карані выяўляюцца праз кубічныя карані з уяўных велічынь), упершыню ацаніў Бамбели (1572). Ён жа даў некаторыя найпростыя правілы дзеянняў з камплекснымі лікамі.

Выразы выгляду $a+b\sqrt{-1}$, якія з'яўляюцца пры рашэнні квадратных і кубічных раўнанняў, сталі зваць «уяўнымі» у XVI-XVII стагоддзях, аднак нават для шматлікіх буйных навукоўцаў XVII у. алгебраічная і геаметрычная сутнасць уяўных велічынь уяўлялася няяснай. Вядома, напрыклад, што Ньютан не ўключаў уяўныя велічыні ў паняцце ліку, а Лейбніцу прыналежыць фраза: «Уяўныя лікі — гэтае выдатнае і цудоўнае сховішча чароўнага духу, амаль што амфібія быцця з нябытам»^{[Крыніца?]}.

Задача аб выразе каранёў ступені $n$ з дадзенага ліку была ў асноўным вырашаная ў працах Муавра (1707, 172]) і Котэса (англ.) (1722).

Знак $i=\sqrt{-1}$ прапанаваў Эйлер (1777, апубл. 1794), які ўзяў для гэтага першую літару слова imaginarius. Ён жа выказаў у 1751 думку аб алгебраічнай замкнёнасці поля камплексных лікаў, да такой жа высновы прыйшоў Д'Аламбер (1747), але першы строгі доказ гэтага факту прыналежыць Гаўсу (1799). Ён жа ўвёў у шырокае ўжыванне тэрмін «камплексны лік» у 1831 г, хоць у навуковую літаратуру тэрмін «камплексны лік» увёў яшчэ раней французскі матэматык Лазар Карно у 1803 г.

Геаметрычнае вытлумачэнне камплексных лікаў і дзеянняў над імі з'явілася ўпершыню ў працы Веселя, (1799). Першыя крокі ў гэтым кірунку былі зробленыя Валісам (Англія) у 1685 г. Геаметрычнае паданне камплексных лікаў, часам званае «дыяграмай Аргана», увайшло ва ўжытак пасля апублікавання ў 1806 і 1814 працы Аргана, якая паўтарала незалежна высновы Веселя.

Арыфметычная тэорыя камплексных лікаў як пар рэчыўных лікаў была пабудаваная Гамільтанам (1837). Яму ж прыналежыць абагульненне камплексных лікаў — кватэрніоны, алгебра якіх некамутатыўна.

Функцыі камплекснага пераменнага

• Гама-функцыя
• Гіпербалічныя функцыі
• Дзэта-функцыя Рымана
• Лагарыфм
• Сталая функцыя
• W-функцыя Ламберта

Абагульненні

• Гіперкамплексныя лікі — канечнамерныя алгебры над полем сапраўдных лікаў.

Спасылкі

• Понтрягин Л., «Комплексные числа», Квант, № 3, 1982.
• Арнольд В. И., «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», МЦНМО, 2002
• Просты калькулятар камплексных лікаў
• CaRevol Jet — Формульны калькулятар камплексных лікаў пад Windows.
• Елисеев В. И., «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Цэнтр навукова-тэхнічнай творчасці моладзі «Алгоритм». — М.:, НИАТ. — 1990. Шыфр Д7-90/83308