Вызначнік (алгебра): Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
вікіфікацыя |
др Bot: Migrating 45 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q178546 (translate me) |
||
Радок 125: | Радок 125: | ||
[[Катэгорыя:Лінейная алгебра]] |
[[Катэгорыя:Лінейная алгебра]] |
||
[[Катэгорыя:Алгебра]] |
[[Катэгорыя:Алгебра]] |
||
[[ar:محدد]] |
|||
[[bg:Детерминанта]] |
|||
[[bn:নির্ণায়ক]] |
|||
[[ca:Determinant (matemàtiques)]] |
|||
[[cs:Determinant]] |
|||
[[da:Determinant]] |
|||
[[de:Determinante]] |
|||
[[el:Ορίζουσα]] |
|||
[[en:Determinant]] |
|||
[[eo:Determinanto]] |
|||
[[es:Determinante (matemática)]] |
|||
[[et:Determinant]] |
|||
[[eu:Determinante]] |
|||
[[fa:دترمینان]] |
|||
[[fr:Déterminant (mathématiques)]] |
|||
[[he:דטרמיננטה]] |
|||
[[hi:सारणिक]] |
|||
[[hu:Determináns]] |
|||
[[is:Ákveða]] |
|||
[[it:Determinante]] |
|||
[[ja:行列式]] |
|||
[[ka:დეტერმინანტი]] |
|||
[[ko:행렬식]] |
|||
[[ky:Аныктагыч]] |
|||
[[lt:Determinantas]] |
|||
[[lv:Determinants]] |
|||
[[nl:Determinant]] |
|||
[[nn:Determinant]] |
|||
[[no:Determinant]] |
|||
[[pl:Wyznacznik]] |
|||
[[pt:Determinante]] |
|||
[[ro:Determinant (matematică)]] |
|||
[[ru:Определитель]] |
|||
[[sk:Determinant (matematika)]] |
|||
[[sl:Determinanta]] |
|||
[[sq:Përcaktori]] |
|||
[[sr:Детерминанта]] |
|||
[[sv:Determinant]] |
|||
[[ta:அணிக்கோவை]] |
|||
[[th:ดีเทอร์มิแนนต์]] |
|||
[[tr:Determinant]] |
|||
[[uk:Визначник]] |
|||
[[ur:دترمینان]] |
|||
[[vi:Định thức]] |
|||
[[zh:行列式]] |
Версія ад 12:49, 10 сакавіка 2013
Вызначнік[1] (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад n2 зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).
Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных раўнанняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.
Строгае азначэнне
Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы
Няхай
Вызначнік n × n-матрыцы A − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:
дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках σ мноства {1,...,n} , sgn(σ) − знак перастаноўкі σ, роўны +1, калі σ цотная, і роўны -1, калі σ няцотная.
Праз адметныя уласцівасці
Няхай
− матрыца, каэфіцыенты aij якой належаць колцу R, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.
Абазначым праз ai i-ты слупок матрыцы A:
Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы A, якая прымае значэнні з колца R і задавальняе наступныя ўмовы:
- Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
- Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
- Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
Уласцівасці
- Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
- Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
- Няхай r ёсць скалярнай велічынёю, A ёсць квадратнай матрыцай парадку n. Тады
- Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:
- Калі матрыца A трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i > j; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i < j), то яе вызначнік роўны здабытку ейных дыяганальных элементаў:
Вызначнікі малых парадкаў
Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:
Для матрыцы 2 × 2 вызначнік роўны
Для матрыцы n × n вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):
дзе — дадатковы мінор элемента
Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор Mij элемента aij , трэба закрэсліць i-ты радок і j-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.
Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы 3 × 3 раўняецца:
Зноскі
- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
Крыніцы
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.