Поле, алгебра

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

По́ле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.

Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле рэчаісных лікаў, поле рацыянальных лікаў і поле камплексных лікаў.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Агульнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Поле − гэта мноства , на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі «» і " " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

  1. ёсць абелева групанейтральным элементам 0)
  2. ёсць абелева групанейтральным элементам 1)
  3. Выконваецца размеркавальны закон: для любых справядліва:
     (левы размеркавальны закон)
     (правы размеркавальны закон)

Пералік неабходных аксіём[правіць | правіць зыходнік]

Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:

  1. Уласцівасці складання:
    1. (спалучальны закон)
    2. (перамяшчальны закон)
    3. Існуе элемент такі, што (нейтральны элемент)
    4. Для кожнага існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент , такі што
  2. Уласцівасці множання:
    1. (спалучальны закон)
    2. (перамяшчальны закон)
    3. Існуе элемент , такі што (нейтральны элемент).
    4. Для кожнага існуе адваротны адносна множання элемент , такі што
  3. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
    1.  (левы размеркавальны закон)
    2. (інакш нулявое колца было б полем)

Заўвага 1: правы размеркавальны закон

вынікае з астатніх уласцівасцей:

Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — Москва: Факториал Пресс, 2002.