Розніца паміж версіямі «Плоскасць»

Jump to navigation Jump to search
310 байтаў дададзена ,  3 гады таму
др
афармленне, стыль
др (афармленне, стыль)
[[Image:Intersecting planes.svg|thumb|Дзве плоскасці, якія перасякаюцца]]
'''Пло́скасць''' — адно з асноўных паняццяў [[геаметрыя|геаметрыі]]. Плоскасць — гэта бясконцая [[паверхня]], да якой належаць усе [[прамая|прамыя]], што праходзяць праз якія-небудзь два [[пункт]]ы плоскасці. У [[алгебра|алгебры]] плоскасць вызначаецца як двухмерная [[афінная прастора]].
 
У [[планіметрыя|планіметрыі]] плоскасць разглядаецца як [[універсуум]], да якога належаць усе [[геаметрычная фігура|геаметрычныя фігуры]]. [[Стэрэаметрыя]] разглядае [[бясконцае мноства]] плоскасцей, што належаць да [[прастора|прасторы]].
'''Плоскасць''' — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць [[ураўненне]]м першай ступені.
 
* '''Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці'''
 
: <math>Ax+By+Cz+D=0, \qquad (1)</math>
 
: дзе <math>A,B,C</math> і <math>D</math> — канстанты, прычым <хоць адзін з лікаў {{math>|''A''}}, {{math|''B</math>''}} і {{math|''C''}} не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці <math>|A|+|B|+|C|\ne 0</math> адначасова ня роўныя нулю); у [[вектар]]най форме:
 
: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0,</math>
 
: дзе <math>\mathbf{r}</math> — радыус-вектар пунктупункта <math>M(x,y,z)</math>, вектар <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). ''Накіравальныя [[косінус]]ы'' вектары <math>\mathbf{N}</math>:
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>
 
: Калі адзін з каэфіцыентаў ува ураўненніўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне завеццаназываецца ''няпоўным''. Пры <math>D=0</math> плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры <math>A=0</math> (або <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) плоскасць паралельная восі <math>Ox</math> (адпаведна <math>Oy</math> або <math>Oz</math>). Пры <math>A=B=0</math> (<>A=C=0</math>, або <math>B=C=0</math>) плоскасць паралельная плоскасці <math>Oxy</math> (адпаведна <math>Oxz</math> або <math>Oyz</math>).
 
* '''Ураўненне плоскасці ў [[адрэзак|адрэзках]]:'''
 
: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>
 
: дзе <math>a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C</math> — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях <math>Ox, Oy</math> і <math>Oz</math>.
 
* '''Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт''' <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> '''перпендыкулярна вектару нармалі''' <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math>:
 
: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>
 
: у вектарнай форме:
 
: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>
 
* '''Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты''' <math>M(x_i,y_i,z_i)</math>, '''штоякія не ляжаць на адной простай'прамой'':
 
: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0,</math>
: дзе <math>(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})</math> абазначае {{нп5|змешаны здабытак||ru|Смешанное произведение}} вектараў {{math|'''x'''}}, {{math|'''y'''}} і {{math|'''z'''}}, па-іншаму
 
(змяшаны здабытак вектараў), па-іншаму
 
: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>
 
* '''Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці'''
 
: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0, \qquad (2)</math>
 
: у вектарнай форме:
 
: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math>
 
: дзе <math>\mathbf{N^0}</math> — адзінкавы вектар, <math>p</math> — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) множаннем на нармоўны множнік
 
: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>
 
: (знакі <math>\mu</math> і <math>D</math> супрацьлеглыя).
 
 
== Спасылкі ==
{{commonscat-inline|Linear planes}}
* {{з ВСЭ|http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Плоскость/|title=Плоскость}}
{{commonscat-inline|Linear planes}}
 
[[Катэгорыя:Еўклідава геаметрыя]]

Навігацыя