Плоскасць

Дзве плоскасці, якія перасякаюцца

Пло́скасць — адно з асноўных паняццяў геаметрыі. Плоскасць — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе прамыя, што праходзяць праз якія-небудзь два пункты плоскасці. У алгебры плоскасць вызначаецца як двухмерная афінная прастора.

У планіметрыі плоскасць разглядаецца як універсум, да якога належаць усе геаметрычныя фігуры. Стэрэаметрыя разглядае бесканечнае мноства плоскасцей, размешчаных у прасторы.

Ураўненні плоскасці

Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.

• Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці

$Ax+By+Cz+D=0,\qquad (1)$

дзе $A,B,C$ і $D$ — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў A, B і C не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці $|A|+|B|+|C|\neq 0$); у вектарнай форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0,$

дзе $\mathbf {r}$ — радыус-вектар пункта $M(x,y,z)$, вектар $\mathbf {N} =(A,B,C)$ перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). Накіравальныя косінусы вектары $\mathbf {N}$:

$\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$

$\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$

Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным. Пры $D=0$ плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры $A=0$ (або $B=0$, $C=0$) плоскасць паралельная восі $Ox$ (адпаведна $Oy$ або $Oz$). Пры $A=B=0$ (<>A=C=0</math>, або $B=C=0$) плоскасць паралельная плоскасці $Oxy$ (адпаведна $Oxz$ або $Oyz$).

• Ураўненне плоскасці ў адрэзках:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$

дзе $a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C$ — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях $Ox,Oy$ і $Oz$.

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ перпендыкулярна вектару нармалі $\mathbf {N} (A,B,C)$:

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$

у вектарнай форме:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты $M(x_{i},y_{i},z_{i})$, якія не ляжаць на адной прамой:

$((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0,$

дзе $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )$ абазначае змешаны здабытак вектараў x, y і z, па-іншаму

$\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$

• Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці

$x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0,\qquad (2)$

у вектарнай форме:

$(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,$

дзе $\mathbf {N^{0}}$ — адзінкавы вектар, $p$ — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) множаннем на нармоўны множнік

$\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$

(знакі $\mu$ і $D$ супрацьлеглыя).

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Плоскасць
• Плоскость (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі