Арыфметычная прагрэсія

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a1, a2, a3, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі[1][2].

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a1 і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку an+1 - an = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

дзе a1 — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Суму першых элементаў арыфметычнай прагрэсіі можна вылічыць па формулах

або

дзе a1 — першы член прагрэсіі, an — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі[правіць | правіць зыходнік]

Няхай — арыфметычная прагрэсія з рознасцю і лік . Тады паслядоўнасць выгляду ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам .

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі[правіць | правіць зыходнік]

Арыфметычная прагрэсія разбягаецца пры і збягаецца пры . Прычым

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў[правіць | правіць зыходнік]

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Натуральны рад — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент , а рознасць .
  • — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе і .
  • Суму першых натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Крыніцы і спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  1. БЭ ў 18 т. Т. 2.
  2. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Вонкавыя спасылкі[правіць | правіць зыходнік]