Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a1, a2, a3, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі[1][2].
Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a1 і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы
якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе
Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку an+1 - an = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.
Паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць
Доказ
Неабходнасць:
Раз паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для праўдзяцца роўнасці:
Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем
Дастатковасць:
Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :
Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.
Суму першых элементаў арыфметычнай прагрэсіі можна вылічыць па формулах
або
дзе a1 — першы член прагрэсіі, an — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.
Доказ
Запішам суму двума спосабамі:
У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.
Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:
Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як . Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:
Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад i і роўная . У прыватнасці, . А раз такіх складнікаў n, то
Адсюль вынікае роўнасць
.
Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай замест .
Заўвага:
Замест у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў , бо ўсе яны роўныя між сабой.
Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.
Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,
рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:
1, 3, 5, 7, 9, 11, ....
Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.