Арыфметычная прагрэсія

Арыфметы́чная прагрэ́сія — паслядоўнасць лікаў a₁, a₂, a₃, ..., кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку d, які называецца ро́знасцю або кро́кам арыфметычнай прагрэсіі.

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі a₁ і яе рознасць d, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

$a_{n+1}=a_{n}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,$$a_{n+1}=a_{n}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,$

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

$a_{1},\quad a_{1}+d,\quad a_{1}+2d,\quad \dots .$$a_{1},\quad a_{1}+d,\quad a_{1}+2d,\quad \dots .$

Арыфметычная прагрэсія ёсць манатоннай паслядоўнасцю. Пры d > 0 яна нарастае, а пры d < 0 спадае. Калі d = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку a_n+1 - a_n = d, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці

Агульны член арыфметычнай прагрэсіі

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам n можа быть вылічаны па формуле

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, d — яе рознасць.

Доказ

Карыстаючыся роўнасцю $a_{n+1}=a_{n}+d$$a_{n+1}=a_{n}+d$ выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

$a_{2}=a_{1}+d$$a_{2}=a_{1}+d$

$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$

$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d$$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d$

$a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d$$a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d$

Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$. З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных n:

Першы крок індукцыі $(n=1)$$(n=1)$ :

$a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}$$a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}$ - сцверджанне праўдзівае.

Пераход індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры $n=k$$n=k$, гэта значыць $a_{k}=a_{1}+(k-1)d$$a_{k}=a_{1}+(k-1)d$. Дакажам справядлівасць сцверджання пры $n=k+1$$n=k+1$:

$a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd$$a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd$

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры $n=k+1$$n=k+1$. Гэта азначае, што $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ для ўсіх $n\in \mathbb {N}$$n\in \mathbb {N}$.

Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Паслядоўнасць $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\qquad n\geq 2.$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\qquad n\geq 2.$

Доказ

Неабходнасць:

Раз паслядоўнасць $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для $n\geq 2$$n\geq 2$ праўдзяцца роўнасці:

$a_{n}=a_{n-1}+d,$$a_{n}=a_{n-1}+d,$

$a_{n}=a_{n+1}-d.$$a_{n}=a_{n+1}-d.$

Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.$

Дастатковасць:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца $a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.$$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.$ Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :$a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}.$$a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}.$

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.

Сума першых n членаў арыфметычнай прагрэсіі

Суму першых $n$$n$ элементаў арыфметычнай прагрэсіі $S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}$ можна вылічыць па формулах

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n,$$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n,$

або

$S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n,$$S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n,$

дзе a₁ — першы член прагрэсіі, a_n — член з нумарам n, d — рознасць прагрэсіі.

Доказ

Запішам суму двума спосабамі:

${\begin{array}{ccccccccccccccc}S_{n}&=&a_{1}&+&a_{2}&+&a_{3}&+&\ldots &+&a_{n-2}&+&a_{n-1}&+&a_{n},\\S_{n}&=&a_{n}&+&a_{n-1}&+&a_{n-2}&+&\ldots &+&a_{3}&+&a_{2}&+&a_{1}.\end{array}}$${\begin{array}{ccccccccccccccc}S_{n}&=&a_{1}&+&a_{2}&+&a_{3}&+&\ldots &+&a_{n-2}&+&a_{n-1}&+&a_{n},\\S_{n}&=&a_{n}&+&a_{n-1}&+&a_{n-2}&+&\ldots &+&a_{3}&+&a_{2}&+&a_{1}.\end{array}}$

У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:

$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1}).$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1}).$

Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як $a_{i}+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots ,n$$a_{i}+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots ,n$. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

$a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.$$a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.$

Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад i і роўная $2a_{1}+(n-1)d$$2a_{1}+(n-1)d$. У прыватнасці, $a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d$$a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d$. А раз такіх складнікаў n, то

$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n$

Адсюль вынікае роўнасць

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n$.

Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай $2a_{1}+(n-1)d$$2a_{1}+(n-1)d$ замест $a_{1}+a_{n}$$a_{1}+a_{n}$.

Заўвага:

Замест $a_{1}+a_{n}$$a_{1}+a_{n}$ у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў $a_{i}+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots ,n$$a_{i}+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots ,n$, бо ўсе яны роўныя між сабой.

Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі

Няхай $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ — арыфметычная прагрэсія з рознасцю $d$$d$ і лік $b>0$$b>0$. Тады паслядоўнасць выгляду $b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots$$b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots$ ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам $b^{d}$$b^{d}$.

Доказ

Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:

${\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.$${\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.$

Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

${\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}={\sqrt {b^{a_{1}+(n-2)d}\cdot b^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {b^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(b^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=b^{a_{1}+(n-1)d}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.$${\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}={\sqrt {b^{a_{1}+(n-2)d}\cdot b^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {b^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(b^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=b^{a_{1}+(n-1)d}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.$

А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць $b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots$$b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots$ ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці $q={\frac {b^{a_{2}}}{b^{a_{1}}}}={\frac {b^{a_{1}+d}}{b^{a_{1}}}}=b^{d}.$$q={\frac {b^{a_{2}}}{b^{a_{1}}}}={\frac {b^{a_{1}+d}}{b^{a_{1}}}}=b^{d}.$

Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі

Арыфметычная прагрэсія $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ разбягаецца пры $d\neq 0$$d\neq 0$ і збягаецца пры $d=0$$d=0$. Прычым

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}+\infty ,&d>0\\-\infty ,&d<0\\a_{1},&d=0\end{cases}}$$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}+\infty ,&d>0\\-\infty ,&d<0\\a_{1},&d=0\end{cases}}$

Доказ

Запісаўшы выраз агульнага члена і разгле́дзеўшы граніцу $\lim _{n\to \infty }(a_{1}+(n-1)d)$$\lim _{n\to \infty }(a_{1}+(n-1)d)$, атрымліваем патрэбны вынік.

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку.

Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, арыфметычнай паслядоўнасцю k-га парадку называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (k-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць n-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць n-га парадку.

Прыклады

• Натуральны рад $1,2,3,4,5,\ldots$$1,2,3,4,5,\ldots$ — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент $a_{1}=1$$a_{1}=1$, а рознасць $d=1$$d=1$.
• $1,-1,-3,-5,-7$$1,-1,-3,-5,-7$ — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе $a_{1}=1$$a_{1}=1$ і $d=-2$$d=-2$.
• Суму першых $n$$n$ натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

$1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.$$1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.$

Гл. таксама

• Геаметрычная прагрэсія

Вонкавыя спасылкі

• Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі