Ліміт паслядоўнасці

З пляцоўкі Вікіпедыя
(Пасля перасылкі з Граніца паслядоўнасці)
Збяганне паслядоўнасці да ліміту a

Лімі́т паслядоўнасці[1]  — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна збягаецца да свайго ліміту. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Няхай элементы паслядоўнасці належаць тапалагічнай прасторы X.

Кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да свайго ліміту і пішуць

калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар NU , што для ўсіх nNU выконваецца

Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

можна прачытаць, як «ліміт xn пры імкненні n да бесканечнасці».

Ліміт лікавай паслядоўнасці[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай  — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць збягаецца да свайго ліміту і пішуць

калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх nN(ε) справядліва няроўнасць

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Няхай існуюць ліміты і , тады існуюць наступныя ліміты:

  • ліміт сумы роўны суме лімітаў
  • ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
  • ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
  • Калі , то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
    .
  • Калі , то ліміт ступені існуе і
    .

Важныя прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  •  для рэчаісных або камплексных лікаў z.
  •  для рэчаісных a > 0.
  •  (Сталая Ойлера — Маскероні)
  • Геаметрычны рад збягаецца да пры і разбягаецца пры
  • Гарманічны рад разбягаецца.
  • Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай Xметрычная прастора, г.зн. X — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) , якая адпавядае умовам:

  • ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
  • ρ(x,y) = ρ(y,x);
  • ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)

для адвольных элементаў x, y, z мноства X.

Няхай  — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.

Пункт называюць лімітам паслядоўнасці пры імкненні n да бесканечнасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх nN(ε) спраўджваецца няроўнасць

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.