Граніца паслядоўнасці

Збяганне паслядоўнасці $\scriptstyle(a_n)_{n=1}^\infty$ да граніцы a

Грані́ца паслядо́ўнасці, або лімі́т паслядоўнасці − пэўная сталая велічыня, да якой набліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае граніцу, кажуць, што яна збягаецца да сваёй граніцы. У процілеглым выпадку (калі граніца не існуе) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце граніцы няяўна ўсведамлялася яшчэ ў старажытнасці ў Грэцыі. У якасці яскравага прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця граніцы даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні

Няхай элементы паслядоўнасці $(x_n)_{n=1}^\infty$ належаць тапалагічнай прасторы X.

Кажуць, што паслядоўнасць $(x_n)_{n=1}^\infty$ збягаецца да сваёй граніцы $a \in X$ і пішуць

$\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a,$

калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар N_U , што для ўсіх n ≥ N_U выконваецца $x_n \in U(a).$

Паслядоўнасць, якая мае концую граніцу, называецца збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае граніцы, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

$\lim\limits_{n\to \infty} x_n$

можна прачытаць, як "граніца x_n пры імкненні n да бясконцасці".

Граніца лікавай паслядоўнасці

Асноўны артыкул: Граніца лікавай паслядоўнасці

Азначэнне

Няхай $(x_n)_{n=1}^\infty$ ёсць лікавай паслядоўнасцю.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць $(x_n)_{n=1}^\infty$ збягаецца да сваёй граніцы $a$ і пішуць

$\lim\limits_{n\to \infty} x_n = a,$

калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) праўдзіцца няроўнасць $|x_n-a|\le \varepsilon.$

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бясконцых палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці граніц такіх паслядоўнасцей істотна не зменяцца.

Уласцівасці

• Тэарэма Бальцана-Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць граніцы $\lim_{n\to\infty} a_n=a$ і $\lim_{n\to\infty} b_n=b$, тады існуюць наступныя граніцы:

• граніца сумы роўная суме граніц

  $\lim_{n\to\infty} \left(a_n+b_n\right)= a+b,$

• граніца рознасці роўная рознасці граніц

  $\lim_{n\to\infty} \left(a_n-b_n\right)= a-b,$

• граніца здабытку раўняецца здабытку граніц

  $\lim_{n\to\infty} \left(a_n\cdot b_n\right)= a\cdot b.$

• Калі $b\neq 0$, то граніца дзелі раўняецца дзелі граніц

  $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$.

• Калі $a > 0$, то граніца ступені існуе і

  $\lim_{n\to\infty} a_n^{b_n}= a^b$.

Важныя прыклады

Асноўны артыкул: Спіс граніц

• $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$
• $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$
• $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac {z}{n}\right)^n=e^z$ для рэчаісных або камплексных лікаў z.
• $\lim_{n\to\infty} n(a^{\frac1{n}}-1) = \ln a$ для рэчаісных a > 0.
• $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\dotsb+\frac1{n}-\ln n\right) = \gamma$ (Сталая Ойлера-Маскероні)
• Геаметрычны шэраг $\sum_{k=0}^{\infty} q^k$ збягаецца да $\tfrac{1}{1-q}$ пры $|q|<1 ,$ і разбягаецца пры $|q|\ge 1 .$
• Гарманічны шэраг $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ разбягаецца.
• Знакачаргавальны гарманічны шэраг збягаецца $\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2 .$

Абагульненні

Граніца лікавай паслядоўнасці ёсць найпрасцейшым прыкладам граніцы паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай X − метрычная прастора, г.зн. X ёсць мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) $\rho:X\times X \to \R$, якая адпавядае умовам:

• ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
• ρ(x,y) = ρ(y,x);
• ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)

для адвольных элементаў x, y, z мноства X.

Няхай $(x_n)_{n=1}^\infty$ ёсць паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.

Пункт $a\in X$ называюць граніцаю паслядоўнасці $(x_n)_{n=1}^\infty$ пры імкненні n да бясконцасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) праўдзіцца няроўнасць $\rho(x_n,a) \le \varepsilon.$

Гл. таксама

• Граніца (матэматыка)
• Граніца функцыі