Граніца паслядоўнасці
Грані́ца[1][2] паслядо́ўнасці, або лімі́т[3] паслядоўнасці — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.
Калі паслядоўнасць мае граніцу, кажуць, што яна збягаецца да сваёй граніцы. У процілеглым выпадку (калі граніца не існуе) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.
Паняцце граніцы няяўна ўсведамлялася яшчэ ў старажытнасці ў Грэцыі. У якасці яскравага прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця граніцы даў Агюстэн Луі Кашы.
Азначэнне і абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]
Няхай элементы паслядоўнасці належаць тапалагічнай прасторы X.
Кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да сваёй граніцы і пішуць
калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар NU , што для ўсіх n ≥ NU выконваецца
Паслядоўнасць, якая мае канечную граніцу, называецца збе́жнай.
Калі ж паслядоўнасць не мае граніцы, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.
Сам запіс
можна прачытаць, як «граніца xn пры імкненні n да бесканечнасці».
Граніца лікавай паслядоўнасці[правіць | правіць зыходнік]
![]() |
Асноўны артыкул: Граніца лікавай паслядоўнасці |
Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]
Няхай — лікавая паслядоўнасць.
Кажуць, што лікавая паслядоўнасць збягаецца да сваёй граніцы і пішуць
калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) справядліва няроўнасць
Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці граніц такіх паслядоўнасцей істотна не зменяцца.
Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]
- Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.
Няхай існуюць граніцы і , тады існуюць наступныя граніцы:
- граніца сумы роўная суме граніц
- граніца рознасці роўная рознасці граніц
- граніца здабытку раўняецца здабытку граніц
- Калі , то граніца дзелі раўняецца дзелі граніц
- .
- Калі , то граніца ступені існуе і
- .
Важныя прыклады[правіць | правіць зыходнік]
![]() |
Асноўны артыкул: Спіс граніц |
- для рэчаісных або камплексных лікаў z.
- для рэчаісных a > 0.
- (Сталая Ойлера — Маскероні)
- Геаметрычны рад збягаецца да пры і разбягаецца пры
- Гарманічны рад разбягаецца.
- Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца
Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]
Граніца лікавай паслядоўнасці з'яўляецца найпрасцейшым прыкладам граніцы паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.
Няхай X − метрычная прастора, г.зн. X — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) , якая адпавядае умовам:
- ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
- ρ(x,y) = ρ(y,x);
- ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)
для адвольных элементаў x, y, z мноства X.
Няхай — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.
Пункт называюць граніцаю паслядоўнасці пры імкненні n да бесканечнасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) спраўджваецца няроўнасць
Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]
Зноскі[правіць | правіць зыходнік]
- ↑ Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
- ↑ Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь. — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.