Граніца паслядоўнасці

Збяганне паслядоўнасці $\scriptstyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }$$\scriptstyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }$ да граніцы a

Грані́ца паслядо́ўнасці, або лімі́т паслядоўнасці — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае граніцу, кажуць, што яна збягаецца да сваёй граніцы. У процілеглым выпадку (калі граніца не існуе) кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца.

Паняцце граніцы няяўна ўсведамлялася яшчэ ў старажытнасці ў Грэцыі. У якасці яскравага прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця граніцы даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні

Няхай элементы паслядоўнасці $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ належаць тапалагічнай прасторы X.

Кажуць, што паслядоўнасць $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ збягаецца да сваёй граніцы $a\in X$$a\in X$ і пішуць

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,$$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,$

калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе такі нумар N_U , што для ўсіх n ≥ N_U выконваецца $x_{n}\in U(a).$$x_{n}\in U(a).$

Паслядоўнасць, якая мае канечную граніцу, называецца збе́жнай.

Калі ж паслядоўнасць не мае граніцы, кажуць, што паслядоўнасць разбягаецца, і называюць яе разбе́жнай.

Сам запіс

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}$$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}$

можна прачытаць, як «граніца x_n пры імкненні n да бесканечнасці».

Граніца лікавай паслядоўнасці

Асноўны артыкул: Граніца лікавай паслядоўнасці

Азначэнне

Няхай $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ збягаецца да сваёй граніцы $a$$a$ і пішуць

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,$$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a,$

калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) справядліва няроўнасць $|x_{n}-a|\leq \varepsilon .$$|x_{n}-a|\leq \varepsilon .$

Заўвага: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці граніц такіх паслядоўнасцей істотна не зменяцца.

Уласцівасці

• Тэарэма Бальцана — Ваерштраса. З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць граніцы $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ і $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$$\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$, тады існуюць наступныя граніцы:

• граніца сумы роўная суме граніц

  $\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)=a+b,$$\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)=a+b,$

• граніца рознасці роўная рознасці граніц

  $\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=a-b,$$\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=a-b,$

• граніца здабытку раўняецца здабытку граніц

  $\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=a\cdot b.$$\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=a\cdot b.$

• Калі $b\neq 0$$b\neq 0$, то граніца дзелі раўняецца дзелі граніц

  $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}$$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}$.

• Калі $a>0$$a>0$, то граніца ступені існуе і

  $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{b_{n}}=a^{b}$$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{b_{n}}=a^{b}$.

Важныя прыклады

Асноўны артыкул: Спіс граніц

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$
• $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}$$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}$ для рэчаісных або камплексных лікаў z.
• $\lim _{n\to \infty }n(a^{\frac {1}{n}}-1)=\ln a$$\lim _{n\to \infty }n(a^{\frac {1}{n}}-1)=\ln a$ для рэчаісных a > 0.
• $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)=\gamma$$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)=\gamma$ (Сталая Ойлера — Маскероні)
• Геаметрычны рад $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$$\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ збягаецца да ${\tfrac {1}{1-q}}$${\tfrac {1}{1-q}}$ пры $|q|<1,$$|q|<1,$ і разбягаецца пры $|q|\geq 1.$$|q|\geq 1.$
• Гарманічны рад $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ разбягаецца.
• Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.$$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.$

Абагульненні

Граніца лікавай паслядоўнасці з'яўляецца найпрасцейшым прыкладам граніцы паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай X − метрычная прастора, г.зн. X — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) $\rho :X\times X\to \mathbb {R}$$\rho :X\times X\to \mathbb {R}$, якая адпавядае умовам:

• ρ(x,y) = 0, калі і толькі калі x = y;
• ρ(x,y) = ρ(y,x);
• ρ(x,y) = ρ(x,z) + ρ(z,y)

для адвольных элементаў x, y, z мноства X.

Няхай $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы X.

Пункт $a\in X$$a\in X$ называюць граніцаю паслядоўнасці $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ пры імкненні n да бесканечнасці, калі для любога ε > 0 існуе такі нумар N(ε) , што для ўсіх n ≥ N(ε) спраўджваецца няроўнасць $\rho (x_{n},a)\leq \varepsilon .$$\rho (x_{n},a)\leq \varepsilon .$

Гл. таксама

• Граніца (матэматыка)
• Граніца функцыі