Вейвлет

Вейвлет (англ.: wavelet — невялікая хваля, рабізна) — матэматычная функцыя, якая дазваляе аналізаваць розныя частотныя кампаненты дадзеных. Графік функцыі выглядае як хвалепадобныя ваганні з амплітудай, якая змяншаецца да нуля ўдалечыні ад пачатку каардынат. Аднак гэта прыватнае вызначэнне. У агульным выпадку аналіз сігналаў адбываецца ў плоскасці вейвлет-каэфіцыентаў (маштаб — час — узровень) (Scale-Time-Amplitude). Вейвлет-каэфіцыенты вызначаюцца пэўным інтэгральным пераўтварэннем сігналу. Атрыманыя вейвлет-спектраграмы прынцыпова адрозніваюцца ад звычайных спектраў Фур'е тым, што даюць болей выразную прывязку спектра розных асаблівасцей сігналаў да часу.

Гісторыя

У пачатку развіцця вобласці ўжывалася паняцце «хвалечка» — калька з англійскай мовы. Англійскае слова «wavelet» значыць «маленькая хваля», або «хвалі, якія ідуць адна за адной», «рабізна». І першы, і другі пераклад пасуе дзеля вызначэння вейвлетаў. Вейвлеты — гэта сямейства функцый, якія лакальныя ў часе і па частаце («маленькія»), і ў якіх усе функцыі атрымліваюцца з адной пры дапамозе яе зрухаў і расцяжэнняў па восі часу (так, што яны ідуць адна за адной).

Распрацоўка тэорыі вейвлетаў звязана з некалькімі асобнымі ланцужкамі разважанняў, якія пачаліся з прац Альфрэда Хаара ў пачатку XX стагоддзя. Значны ўклад у тэорыю вейвлетаў зрабілі Гупілаўд, Александэр Гросман і Жан Марле, якія сфармулявалі тое, што сёння вядома як неперарыўнае вейвлет-пераўтварэнне, Жан Олаф-Стромберг з раннімі працамі па дыскрэтных вейвлетах (1983), Інгрыд Дабешы, якая распрацавала артаганальныя вейвлеты з кампактным носьбітам (1988), Стэфан Мала, які прапанаваў кратнамаштабны метад (1989), Наталі Дэлпарт, якая стварыла часава-частотную інтэрпрэтацыю неперарыўнага вейвлет-пераўтварэння (1991), Ньюланд, які распрацаваў гарманічнае вейвлет-пераўтварэнне, і многія іншыя.

У канцы XX стагоддзя з’яўляюцца інструментальныя сродкі па вейвлетах у сістэмах камп’ютарнай матэматыкі Mathcad, MATLAB і Mathematica. Вейвлеты сталі шырока ўжывацца ў тэхніцы арпацоўкі сігналаў і выяў, у прыватнасці, для іх кампрэсіі і выдалення шуму. Былі створаны інтэгральныя мікрасхемы для вейвлет-апрацоўкі сігналаў і выяў.

У снежні 2000 года з’явіўся новы міжнародны стандарт сціскання выяў JPEG 2000, у якім сцісканне здзеснівалася пры дапамозе раскладання выявы па базісу вейвлетаў.

У 2002—2003 гадах з’явіўся ICER — фармат для сціскання выяў на аснове вейвлет-пераўтварэнняў, які ўжываецца для фотаздымкаў, зробленых у далёкім космасе, у прыватнасці, у праектах Mars Exploration Rover.

Вызначэнні, уласцівасці, віды

Існуе некалькі падыходаў да вызначэння вейвлета: праз маштабны фільтр, маштабную функцыю, вейвлет-функцыю. Вейвлеты могуць быць артаганальнымі, паўартаганальнымі, бі-артаганальнымі.

Вейвлетныя функцыі могуць быць сіметрычнымі, асіметрычнымі і несіметрычнымі, з кампактнай вобласцю вызначэння і без яе, а таксама мець розную ступень гладкасці.

Прыклады вейвлетаў

• вейвлет Хаара
• вейвлеты Дабешы
• вейвлет Гауса
• вейвлет Лежандра
• вейвлет Меера
• вейвлеты Марле
• вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты
• вейвлет Шэнана

Вейвлет-пераўтварэнні

Супастаўленне хваля (wave) — вейвлет, ЛЧМ-сігнал (chirp) — чырплет

• Адносна вейвлет-пераўтварэнняў функцыі (як функцыі ад часу) разглядаюцца ў паняццях ваганняў, лакалізаваных па часе і частаце.
• Вейвлет-пераўтварэнні ўжываюцца ў апрацоўцы сігналаў, нярэдка замяняяючы звычайнае пераўтварэнне Фур’е у многіх абласцях фізікі, уключаючы малекулярную дынаміку, вылічэнні ab initio, астрафізіку, лакалізацыю матрыцы шчыльнасці, сейсмічную геафізіку, оптыку, турбулентнасць, квантавую механіку, апрацоўку выяў, аналіз крывянога ціску, ЭКГ, аналіз ДНК і інш.

Літаратура

• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: РХД, 2001. — 464 с.
• Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. — 440 с.
• Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005. — 672 с.
• Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск: РХД, 2010. — 292 с.
• Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001. — 412 с.

Спасылкі

• Сістэматызацыя вейвлет-пераўтварэнняў
• Wavelet Digest Архівавана 29 верасня 2020. (англ.)
• The Wavelet Tutorial by Polikar Архівавана 30 красавіка 2018. (англ.)
• Робі Палікар. Уводзіны ў вейвлет-пераўтварэнне(недаступная спасылка) — 59 с.
• J. Lewalle — Уводзіны ў аналіз дадзеных з ужываннем неперарыўнага вейвлет-пераўтварэння Архівавана 22 кастрычніка 2014. — 29 с.
• A Really Friendly Guide To Wavelets (англ.)
• An Introductions to Wavelets (англ.)
• Два курса: «Введение в вейвлет-анализ» и «Вейвлет-анализ и приложения».
• Основы теории вейвлетов(недаступная спасылка) с пакетом Mathematica.