Граніца, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Грані́ца[1][2], або лімі́т[3] − адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.

На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Граніца ў матэматычным аналізе[правіць | правіць зыходнік]

Граніца паслядоўнасці[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Граніца паслядоўнасці

Граніца паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці элементаў xn тапалагічнай прасторы X пры імкненні n да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да сваёй граніцы , калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе нумар NU , такі што для ўсіх nNU выконваецца .

Збежнасць паслядоўнасці да граніцы a запісваюць як

Граніца функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Граніца функцыі

Няхай X і Y — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя f : EY вызначана на мностве E, якое з'яўляецца падмноствам прасторы X. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта ёсць хаця б адзін пункт мноства E.

Пункт называюць граніцаю функцыі f пры імкненні x да x0 , калі для ўсякага наваколля V пункта a ў прасторы Y існуе такое наваколле U0 пункта x0 у прасторы X, што для адвольнага пункта яго вобраз f(x) належыць V, г.зн.

Пры гэтым пішуць

або f(x) → a пры xx0.

Граніца інтэгральных сум[правіць | правіць зыходнік]

Vista-xmag.png Асноўны артыкул: Інтэграванне

Няхай на адрэзку [a, b] вызначана функцыя y = f(x). Падзелім гэты адрэзак пунктамі a = x0 < x1 < ... < xn = b на n частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік . Інтэгральная сума вызначаецца як

Калі існуе канечная граніца інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей xixi-1, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі f на адрэзку [a, b].

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як граніца інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
  2. Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
  3. Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.