Граніца (матэматыка)

Грані́ца, або лімі́т — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.

На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Граніца ў матэматычным аналізе

Граніца паслядоўнасці

Асноўны артыкул: Граніца паслядоўнасці

Граніца паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ элементаў x_n тапалагічнай прасторы X пры імкненні n да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ збягаецца да сваёй граніцы $a\in X$, калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе нумар N_U , такі што для ўсіх n ≥ N_U выконваецца $x_{n}\in U(a)$. Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ збягаецца да сваёй граніцы $a\in X$, калі для любога ε, якое больш за нуль, існуе N, якое залежыць ад ε, пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: $\left\vert x_{n}-a\right\vert <\epsilon$. Збежнасць паслядоўнасці $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ да граніцы a запісваюць як

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=a.$

Граніца функцыі

Асноўны артыкул: Граніца функцыі

Няхай X і Y — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя f : E → Y вызначана на мностве E, якое з’яўляецца падмноствам прасторы X. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта $x_{0}\in X$ ёсць хаця б адзін пункт мноства E.

Пункт $a\in Y$ называюць граніцаю функцыі f пры імкненні x да x₀ , калі для ўсякага наваколля V пункта a ў прасторы Y існуе такое наваколле U₀ пункта x₀ у прасторы X, што для адвольнага пункта $x\in E\cap U_{0}$ яго вобраз f(x) належыць V, г.зн. $f(E\cap U_{0})\subset V.$

Пры гэтым пішуць

$\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=a,$

або f(x) → a пры x → x₀.

Граніца інтэгральных сум

Асноўны артыкул: Інтэграванне

Няхай на адрэзку [a, b] вызначана функцыя y = f(x). Падзелім гэты адрэзак пунктамі a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b на n частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік $\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]$. Інтэгральная сума вызначаецца як

$S_{n}=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{2})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1}).$

Калі існуе канечная граніца інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей x_i − x_i-1, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі f на адрэзку [a, b].

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як граніца інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.