Граніца (матэматыка)
Грані́ца[1][2], або лімі́т[3] — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця граніцы заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні граніцы. У залежнасці ад таго, ў якіх прасторах яно ўводзіцца, паняцце граніцы набывае пэўны сэнс.
На паняцці граніцы грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.
Граніца ў матэматычным аналізе[правіць | правіць зыходнік]
Граніца паслядоўнасці[правіць | правіць зыходнік]
Граніца паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці элементаў xn тапалагічнай прасторы X пры імкненні n да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да сваёй граніцы , калі для любога наваколля U(a) элемента a існуе нумар NU , такі што для ўсіх n ≥ NU выконваецца . Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да сваёй граніцы , калі для любога ε, якое больш за нуль, існуе N, якое залежыць ад ε, пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: . Збежнасць паслядоўнасці да граніцы a запісваюць як
Граніца функцыі[правіць | правіць зыходнік]
Няхай X і Y — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя f : E → Y вызначана на мностве E, якое з’яўляецца падмноствам прасторы X. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта ёсць хаця б адзін пункт мноства E.
Пункт называюць граніцаю функцыі f пры імкненні x да x0 , калі для ўсякага наваколля V пункта a ў прасторы Y існуе такое наваколле U0 пункта x0 у прасторы X, што для адвольнага пункта яго вобраз f(x) належыць V, г.зн.
Пры гэтым пішуць
або f(x) → a пры x → x0.
Граніца інтэгральных сум[правіць | правіць зыходнік]
Няхай на адрэзку [a, b] вызначана функцыя y = f(x). Падзелім гэты адрэзак пунктамі a = x0 < x1 < ... < xn = b на n частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік . Інтэгральная сума вызначаецца як
Калі існуе канечная граніца інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей xi − xi-1, то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі f на адрэзку [a, b].
Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як граніца інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.
Зноскі
- ↑ Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
- ↑ Булыко А.Н., Полещук Н.В. Белорусско-русский, русско-белорусской словарь. — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.
- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.