Матрыца, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Матрыца — табліца пэўных элементаў (найчасцей — лікаў). Матрыцы выкарыстоўваюцца для вырашэння сістэм лінейных ураўненняў і для лінейных пераўтварэнняў.

Абазначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Матрыца складаецца са слупкоў і радкоў. Калі яна складаецца з n радкоў і m слупкоў, то кажуць, што памер матыцы роўны n*m. Элемент, які знаходзіцца ў i-тым радку і j-тым слупку абазначаецца a_{ij} .

Матрыца, у якой колькасць радкоў ці слупкоў роўная 1, называецца вектарам.

Матрыцы называюцца роўнымі, калі іх адпаведныя элементы роўныя паміж сабой:

A=B: a_{ij}=b_{ij}\, .

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

A=\begin{bmatrix}
3 & 0 & -2 & 4 \\
4 & 10 & 0 & 1\end{bmatrix}

А — матрыца памера 2*4. Складаецца з 2-х радкоў і 4-х слупкоў.

Аперацыі з матрыцамі[правіць | правіць зыходнік]

Сума[правіць | правіць зыходнік]

Складанне матрыц заключаецца ў складанні іх адпаведных элементаў. Каб матрыцы можна было скласці, іх памеры павінны супадаць.

C=A+B: c_{ij}=a_{ij}+b{ij}


Памнажэнне на лік[правіць | правіць зыходнік]

Каб памножыць матрыцу на лік, трэба памножыць кожны яе элемент на гэты лік.

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}

Здабытак[правіць | правіць зыходнік]

Каб перамножыць 2 матрыцы, трэба каб колькасць слупкоў у першай супадала з колькасццю радкоў ў 2-ой. Здабытак будзе мець радкоў як у першай і слупкоў як ў 2-ой матрыцы. Кожны элемент здабытку вылічваецца па наступнай формуле:

Сістэмы лінейных ураўненняў[правіць | правіць зыходнік]

Сістэму лінейных ураўненняў

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} = b_1

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} = b_2

\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots

a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn} = b_n

можна запісаць у выглядзе здабытку

AX = B\,

Рашэнне гэтай сістэмы заключаецца ў знаходжанні адваротнай матрыцы А-1, бо калі мы памножым папярэдняе ўраўненне на гэтую матрыцу

A^{-1}AX = A^{-1}B\,

то зможам атрымаць слупок

X = A^{-1}B\,

Віды матрыц[правіць | правіць зыходнік]

  • Нулевая матрыца — матрыца, ў якой усе элементы роўныя 0.
  • Квадратная матрыца — матрыца, у якой колькасць радкоў і слупкоў супадае.
  • Адзінкавая матрыца — матрыца, у якой усе элементы, якія знаходзяцца на асноўнай дыяганалі (аій: і=й) роўныя адзінцы, а ўсе астатнія роўныя 0.
  • Выраджаная матрыца — матрыца, дэтэрмінант якой роўны 0.
  • Транспанаваная матрыца — матрыца, у якой слупкі і радкі перамененыя месцамі.
  • Адваротная матрыца — матрыца, памнажэнне на якую дае адзінкавую матрыцу.
  • Сіметрычная матрыца — матрыца, якая супадае са сваёй транспанаванай матрыцай.
  • Трохвугольная матрыца — матрыца, у якой усе элементы ніжэй (вышэй) асноўнай дыяганалі роўныя 0.