Жарданава матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Жарданава матрыца (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем , з блокамі выгляду

пры гэтым кожны блок называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы над алгебраічна замкнёным полем (напрыклад, полем камплексных лікаў ) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца над , такая, што

з'яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым называецца жарданавай формай (або жарданавай нармальнай формай) матрыцы . У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца ў поле падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы . І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін

матрыца падобная ў поле матрыцы . Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з'яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Колькасць жарданавых клетак парадку з уласным значэннем ў жарданавай форме матрыцы можна вылічыць па формуле
дзе адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і , сімвал пазначае ранг матрыцы, а , па вызначэнні, роўны парадку . Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці
  • У выпадку, калі поле не з'яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца была падобная над некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы .
  • У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
  • З'яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
  • Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

Варыяцыі і абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

  • Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі: , дзе и — рэчаісныя лікі, . У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок , і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду , якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:[1][2]
  • Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з'яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена (множанне вектара на задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .
  • Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

Зноскі

  1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  2. Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — м: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — м: Наука, 1966. — 576 с.
  • Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — м: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
  • В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.