Перайсці да зместу

Першаісная

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
(Пасля перасылкі з Першаісная функцыі)
Першаісная
Формула, якая апісвае закон або тэарэму
Пазначэнне ў формуле

Першаі́сная[1] функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам[1] і пазначаецца сімвалам

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла

[правіць | правіць зыходнік]
  • Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C — адвольная сталая[2].

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай

[правіць | правіць зыходнік]

Лінейнасць нявызначанага інтэграла

[правіць | правіць зыходнік]
  • Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады
  • Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

Сувязь з інтэгралам Рымана

[правіць | правіць зыходнік]
  • Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] [2].

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання

[правіць | правіць зыходнік]

Лінейныя пераўтварэнні

[правіць | правіць зыходнік]
  • Метад раскладання. Калі
    то

Метад падстаноўкі

[правіць | правіць зыходнік]
  • Увядзенне новага аргумента. Калі
    то
    дзе  — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.
  • Метад падстаноўкі. Калі  — непарыўная, то, прымаючы
    дзе  — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

Інтэграванне па частках

[правіць | правіць зыходнік]

Першаісная ў камплексным аналізе

[правіць | правіць зыходнік]
  • Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.
  • Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый

[правіць | правіць зыходнік]

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы[3]:

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый[2][3]:

Зноскі

  1. а б Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. а б в Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
  3. а б Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.