Першаісная

Першаісная
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	$F'(x)=f(x)$
Пазначэнне ў формуле	$F$

Першаі́сная функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

$F'(x)=f(x).$

Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам і пазначаецца сімвалам

$\int f(x)\,dx.$

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла

• Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C — адвольная сталая.

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай

• Сувязь першаіснай з вытворнаю

$\left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),$

$\int F'(x)\,dx=F(x)+C.$

• Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам

$d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx,$

$\int d(F(x))=F(x)+C.$

Лінейнасць нявызначанага інтэграла

• Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады

$\int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.$

• Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

$\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$

Сувязь з інтэгралам Рымана

Асноўны артыкул: формула Ньютана-Лейбніца

• Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt$

ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] .

• Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай F(x) ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b], тады праўдзіцца роўнасць

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),$

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання

Асноўны артыкул: Метады інтэгравання

Лінейныя пераўтварэнні

• Метад раскладання. Калі

  $g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,$

  то

  $\int g(x)\,dx=\int g_{1}(x)\,dx+\int g_{2}(x)\,dx.\,$

Метад падстаноўкі

• Увядзенне новага аргумента. Калі

  $\int g(x)\,dx=G(x)+C,\,$

  то

  $\int g(u)\,du=G(u)+C,\,$

  дзе $u=\varphi (x)\,$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

• Метад падстаноўкі. Калі $g(x)$ — непарыўная, то, прымаючы

  $x=\varphi (t),\,$

  дзе $\varphi (t)\,$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

  $\int g(x)\,dx=\int g(\varphi (t))\,\varphi '(t)\,dt.$

Інтэграванне па частках

• Метад інтэгравання па частках. Калі $u$ і $v$ — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад x, то

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.\,$

Першаісная ў камплексным аналізе

Гл. таксама: Аналітычная функцыя

• Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.

• Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

$\int \limits _{1}^{z}{\frac {dt}{t}}=\operatorname {Ln} z$

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый

Асноўны артыкул: Спіс інтэгралаў

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы:

$\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {e^{x}}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {dx}{\ln x}}.$

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый:

$\int 0\,dx=C;$

$\int 1\,dx=x+C;$

$\int x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\qquad (\alpha \neq -1);\,$

$\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C;\,$

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C;\,$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);\,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C;\,$

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x+C;\,$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_{1},\qquad (C_{1}={\frac {\pi }{2}}+C);\,$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x+C;\,$

$\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C;\,$

$\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C;\,$

Гл. таксама

• Вытворная функцыі
• Інтэграл Рымана
• Спіс інтэгралаў