Тэарэма Ліўвіля аб захаванні фазавага аб'ёму

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа фон Ліўвіля, з'яўляецца ключавой тэарэмай ў матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліўвіля абвяшчае

Функцыя размеркавання гамільтанавай сістэмы сталая ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці верагоднасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне Ліўвіля[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Ліўвіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці верагоднасці) гамільтанавай сістэмы ў -мернай фазавАй прасторы ( — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанавую сістэму з каардынатамі і спалучанымі імпульсамі , дзе , . Тады размеркаванне ў фазавай прасторы вызначае верагоднасць таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліўвіля апісвае эвалюцыю ў часе паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам нясціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

Просты доказ тэарэмы складаецца ў назіранні, што эвалюцыя вызначаецца ураўненнем непарыўнасці (бесперапыннасці):

дзе —хуткасць перамяшчэння доследнага аб'ёму фазавага прасторы:

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ураўненнем Ліўвіля вызначаецца толькі складнікам, якія апісваюць дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці верагоднасці:

дзе — гамільтаныян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення бесперапыннасці, так як поле хуткасцяў () у фазавым прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — — але сціскаецца па іншай каардынаце так, што здабытак застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём захоўваецца пры зрухах часу. Калі

і мноства кропак фазавага прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства у момант часу , тады

для ўсіх часоў . Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Фізічная інтэрпрэтацыя[правіць | правіць зыходнік]

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

(Нарміровачны множнік апушчаны). У найпростым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыйных сіл з каардынатамі і імпульсамі , тэарэму Ліўвіля можна запісаць у выглядзе

дзе хуткасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца ураўненнем Уласава і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікая колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў самаузгодненым поле сіл .

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц вялікі, парадку колькасці Авагадра. У стацыянарным выпадку можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання роўная любой функцыі гамільтаныяну , напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана , дзе тэмпература, пастаянная Больцмана.

Запіс праз дужку Пуасона[правіць | правіць зыходнік]

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах выгляд

ураўненне Ліўвіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

Запіс з выкарыстаннем аператара Ліўвіля[правіць | правіць зыходнік]

Пры дапамозе аператара Ліўвіля

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд

Wiki letter w.svg На гэты артыкул не спасылаюцца іншыя артыкулы Вікіпедыі,
калі ласка, карыстайцеся падказкай і пастаўце спасылкі ў адпаведнасці з прынятымі рэкамендацыямі.