Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

З пляцоўкі Вікіпедыя
(Пасля перасылкі з Тэарэма Ліўвіля аб захаванні фазавага аб’ёму)
Jump to navigation Jump to search

Тэарэма Ліўвіля, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

Функцыя размеркавання[ru] гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў -мернай фазавай прасторы ( — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі і спалучанымі імпульсамі , дзе , . Тады размеркаванне ў фазавай прасторы вызначае імавернасць таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

дзе — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

дзе гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — — але сціскаецца па іншай каардынаце так, што здабытак застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём захоўваецца пры зрухах часу. Калі

і мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства у момант часу , тады

для ўсіх часоў . Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Фізічная інтэрпрэтацыя[правіць | правіць зыходнік]

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл з каардынатамі і імпульсамі , тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

дзе скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца ўраўненнем Уласава[ru] і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў самаўзгодненым полі[ru] сіл .

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання роўная любой функцыі гамільтаніяна , напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана , дзе тэмпература, пастаянная Больцмана.

Запіс праз дужку Пуасона[правіць | правіць зыходнік]

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах выгляд

ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

Запіс з выкарыстаннем аператара Ліувіля[правіць | правіць зыходнік]

Пры дапамозе аператара Ліувіля

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд