Частковая вытворная: Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
Няма тлумачэння праўкі |
дрНяма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
{{Значэнні|Вытворная}} |
{{Значэнні|Вытворная}} |
||
У |
У [[матэматычны аналіз|матэматычным аналізе]] '''частковая вытворная''' — адно з абагульненняў паняцця [[Вытворная функцыі|вытворнай]] на выпадак функцыі некалькіх зменных. |
||
У |
У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі <math>f</math> у кропцы <math>(a_1,a_2,\ldots, a_n)</math> вызначаецца наступным чынам: |
||
: <math>\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}.</math> |
: <math>\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}.</math> |
||
[[Файл:Grafico 3d x2+xy+y2.png|міні|Графік функцыі {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''² + ''xy'' + ''y''²}}. Частковая вытворная ў кропцы {{nowrap|(1, 1, 3)}} пры пастаянным ''y'' адпавядае |
[[Файл:Grafico 3d x2+xy+y2.png|міні|Графік функцыі {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''² + ''xy'' + ''y''²}}. Частковая вытворная ў кропцы {{nowrap|(1, 1, 3)}} пры пастаянным ''y'' адпавядае вуглу нахілу [[датычная|датычнай прамой]], паралельнай плоскасці ''xz''.]] |
||
[[Файл:X2+x+1.png|міні|Сячэнні графіка, |
[[Файл:X2+x+1.png|міні|Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю {{nowrap|''y'' {{=}} 1}}]] |
||
== Абазначэнне == |
== Абазначэнне == |
||
Варта звярнуць увагу, што абазначэнне <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> |
Варта звярнуць увагу, што абазначэнне <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> трэба разумець як ''цэльны'' сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай <math>\frac{d f}{d x},</math> якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d_x f}{d x}</math>, дзе {{nowrap|<math>d_x f</math> —}} частковы дыферэнцыял функцыі <math>f</math> па зменнай <math>x</math>. Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне <math>\partial x</math> ў выразе <math>\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}</math> <ref>Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»</ref>. |
||
== Геаметрычная інтэрпрэтацыя == |
== Геаметрычная інтэрпрэтацыя == |
||
Радок 21: | Радок 21: | ||
[[Файл:Cone 3d.png|міні|Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы]] |
[[Файл:Cone 3d.png|міні|Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы]] |
||
[[Аб'ём]] V [[конус]]у залежыць ад [[Вышыня трохвугольніка|вышыні]] h і [[Радыус| |
[[Аб'ём]] V [[конус]]у залежыць ад [[Вышыня трохвугольніка|вышыні]] h і [[Радыус|радыуса]] r, згодна з формулай |
||
: <math>V = \frac{\pi r^2 h}{3},</math> |
: <math>V = \frac{\pi r^2 h}{3},</math> |
||
Частковая вытворная аб'ёму V адносна |
Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыуса r |
||
: <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math> |
: <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math> |
||
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём |
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму <math>m^3</math>, а вымярэнні даўжыні <math>m</math>, то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб'ёму <math>m^3/m</math>, г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб'ёму конуса на <math>\frac{ 2 \pi r h}{3}</math> <math>m^3</math>. |
||
Частковая вытворная адносна h |
Частковая вытворная адносна h |
||
Радок 45: | Радок 45: | ||
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}</math> |
: <math>\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}</math> |
||
Адрозненне паміж поўнай і |
Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй. |
||
Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусу застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў |
Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусу застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне k, |
||
: <math>k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.</math> |
: <math>k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.</math> |
||
Радок 58: | Радок 58: | ||
{{зноскі}} |
{{зноскі}} |
||
[[Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне]] |
Версія ад 00:41, 20 лютага 2014
У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.
У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі у кропцы вызначаецца наступным чынам:
Абазначэнне
Варта звярнуць увагу, што абазначэнне трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: , дзе — частковы дыферэнцыял функцыі па зменнай . Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне ў выразе [1].
Геаметрычная інтэрпрэтацыя
Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі у пункце па каардынаце роўная вытворнай па напрамку , дзе адзінка стаіць на -ым месцы.
Прыклады
Аб'ём V конусу залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай
Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыуса r
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму , а вымярэнні даўжыні , то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб'ёму , г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб'ёму конуса на .
Частковая вытворная адносна h
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конусу, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.
Поўная вытворная V адносна r і h
і
Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.
Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусу застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне k,
Гэта дае поўную вытворную адносна r:
Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.
Зноскі
- ↑ Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»