Плоскасць: Розніца паміж версіямі
[недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
др афармленне, стыль |
|||
Радок 1: | Радок 1: | ||
[[Image:Intersecting planes.svg|thumb|Дзве плоскасці, якія перасякаюцца]] |
[[Image:Intersecting planes.svg|thumb|Дзве плоскасці, якія перасякаюцца]] |
||
'''Пло́скасць''' |
'''Пло́скасць''' — адно з асноўных паняццяў [[геаметрыя|геаметрыі]]. Плоскасць — гэта бясконцая [[паверхня]], да якой належаць усе [[прамая|прамыя]], што праходзяць праз якія-небудзь два [[пункт]]ы плоскасці. У [[алгебра|алгебры]] плоскасць вызначаецца як двухмерная [[афінная прастора]]. |
||
У [[планіметрыя|планіметрыі]] плоскасць разглядаецца як [[універсуум]], да якога належаць усе [[геаметрычная фігура|геаметрычныя фігуры]]. [[Стэрэаметрыя]] разглядае [[бясконцае мноства]] плоскасцей, што належаць да [[прастора|прасторы]]. |
У [[планіметрыя|планіметрыі]] плоскасць разглядаецца як [[універсуум]], да якога належаць усе [[геаметрычная фігура|геаметрычныя фігуры]]. [[Стэрэаметрыя]] разглядае [[бясконцае мноства]] плоскасцей, што належаць да [[прастора|прасторы]]. |
||
Радок 7: | Радок 7: | ||
'''Плоскасць''' — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць [[ураўненне]]м першай ступені. |
'''Плоскасць''' — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць [[ураўненне]]м першай ступені. |
||
* |
* ''Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці'' |
||
: <math>Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)</math> |
: <math>Ax+By+Cz+D=0, \qquad (1)</math> |
||
дзе <math>A,B,C</math> і <math>D</math> — канстанты, прычым |
: дзе <math>A,B,C</math> і <math>D</math> — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў {{math|''A''}}, {{math|''B''}} і {{math|''C''}} не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці <math>|A|+|B|+|C|\ne 0</math>); у [[вектар]]най форме: |
||
: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0</math> |
: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0,</math> |
||
дзе <math>\mathbf{r}</math> — радыус-вектар |
: дзе <math>\mathbf{r}</math> — радыус-вектар пункта <math>M(x,y,z)</math>, вектар <math>\mathbf{N}=(A,B,C)</math> перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). ''Накіравальныя [[косінус]]ы'' вектары <math>\mathbf{N}</math>: |
||
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math> |
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math> |
||
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math> |
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math> |
||
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math> |
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math> |
||
Калі адзін з каэфіцыентаў |
: Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца ''няпоўным''. Пры <math>D=0</math> плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры <math>A=0</math> (або <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) плоскасць паралельная восі <math>Ox</math> (адпаведна <math>Oy</math> або <math>Oz</math>). Пры <math>A=B=0</math> (<>A=C=0</math>, або <math>B=C=0</math>) плоскасць паралельная плоскасці <math>Oxy</math> (адпаведна <math>Oxz</math> або <math>Oyz</math>). |
||
* |
* ''Ураўненне плоскасці ў [[адрэзак|адрэзках]]:'' |
||
: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math> |
: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math> |
||
дзе <math>a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C</math> — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях <math>Ox, Oy</math> і <math>Oz</math>. |
: дзе <math>a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C</math> — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях <math>Ox, Oy</math> і <math>Oz</math>. |
||
* |
* ''Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт'' <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> ''перпендыкулярна вектару нармалі'' <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math>: |
||
: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math> |
: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math> |
||
у вектарнай форме: |
: у вектарнай форме: |
||
: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math> |
: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math> |
||
* |
* ''Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты'' <math>M(x_i,y_i,z_i)</math>, ''якія не ляжаць на адной прамой'': |
||
: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0</math> |
: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0,</math> |
||
: дзе <math>(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})</math> абазначае {{нп5|змешаны здабытак||ru|Смешанное произведение}} вектараў {{math|'''x'''}}, {{math|'''y'''}} і {{math|'''z'''}}, па-іншаму |
|||
(змяшаны здабытак вектараў), па-іншаму |
|||
: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math> |
: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math> |
||
* |
* ''Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці'' |
||
: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math> |
: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0, \qquad (2)</math> |
||
у вектарнай форме: |
: у вектарнай форме: |
||
: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math> |
: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math> |
||
дзе <math>\mathbf{N^0}</math> — адзінкавы вектар, <math>p</math> — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) множаннем на нармоўны множнік |
: дзе <math>\mathbf{N^0}</math> — адзінкавы вектар, <math>p</math> — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) множаннем на нармоўны множнік |
||
: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math> |
: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math> |
||
(знакі <math>\mu</math> і <math>D</math> супрацьлеглыя). |
: (знакі <math>\mu</math> і <math>D</math> супрацьлеглыя). |
||
== Спасылкі == |
== Спасылкі == |
||
⚫ | |||
* {{з ВСЭ|http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Плоскость/|title=Плоскость}} |
* {{з ВСЭ|http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Плоскость/|title=Плоскость}} |
||
⚫ | |||
[[Катэгорыя:Еўклідава геаметрыя]] |
[[Катэгорыя:Еўклідава геаметрыя]] |
Версія ад 19:30, 8 мая 2018
Пло́скасць — адно з асноўных паняццяў геаметрыі. Плоскасць — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе прамыя, што праходзяць праз якія-небудзь два пункты плоскасці. У алгебры плоскасць вызначаецца як двухмерная афінная прастора.
У планіметрыі плоскасць разглядаецца як універсуум, да якога належаць усе геаметрычныя фігуры. Стэрэаметрыя разглядае бясконцае мноства плоскасцей, што належаць да прасторы.
Ураўненні плоскасці
Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.
- Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці
- дзе і — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў A, B і C не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці ); у вектарнай форме:
- дзе — радыус-вектар пункта , вектар перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). Накіравальныя косінусы вектары :
- Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным. Пры плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры (або , ) плоскасць паралельная восі (адпаведна або ). Пры (<>A=C=0</math>, або ) плоскасць паралельная плоскасці (адпаведна або ).
- Ураўненне плоскасці ў адрэзках:
- дзе — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях і .
- Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт перпендыкулярна вектару нармалі :
- у вектарнай форме:
- Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты , якія не ляжаць на адной прамой:
- дзе абазначае змешаны здабытак вектараў x, y і z, па-іншаму
- Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці
- у вектарнай форме:
- дзе — адзінкавы вектар, — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) множаннем на нармоўны множнік
- (знакі і супрацьлеглыя).
Спасылкі
- На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Плоскасць
- Плоскость (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі