Прагляд зыходнага тэксту старонкі Матэматычнае спадзяванне

{{Тэорыя імавернасцей}}

'''Матэматы́чнае спадзява́нне''', таксама '''матэматычнае чаканне''', '''сярэдняе значэнне''', '''матспадзяванне''' выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка [[выпадковая велічыня|выпадковай велічыні]] ''X''. Абазначаецца <math>M[X]</math> або <math>\mathbb{E}[X]</math>. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні <math>X</math> і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З [[закон вялікіх лікаў|закона вялікіх лікаў]] вынікае, што [[сярэдняе арыфметычнае]] значэнне велічыні <math>X</math> пры павелічэнні колькасці [[Выпрабаванне (тэорыя імавернасцей)|выпрабаванняў]] набліжаецца да <math>\mathbb{E}[X]</math>.

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні <math>X_1, X_2, \dots X_n</math>, з імавернасцямі <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math>, дзе <math>p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1</math>, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш <math>\mathbb{E}[X] = X_1p_1 + X_2p_2 + \dots + X_np_n</math> (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы [[пачатковы момант]] выпадковай велічыні.

== Азначэнне ==

=== Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега ===
Няхай зададзена [[прастора імавернасцей]] <math>(\Omega,\mathcal{A}, P)</math> і азначаная на ёй [[выпадковая велічыня]] <math>X</math>. То бок, паводле азначэння, <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — [[вымерная функцыя]]. Калі існуе [[інтэграл Лебега]] ад <math>X</math> па прасторы <math>\Omega</math>, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца <math>M[X]</math> або <math>\mathbb{E}[X]</math>:
: <math>\mathbb{E}[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, dP(\omega).</math>
Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны <math>\pm\infty</math>, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання<ref name=elemienty>''Звяровіч Э. І.'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.</ref>{{rp|111}}.

=== Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні ===
Калі <math>F_X(x)</math> — [[Размеркаванне імавернасцей|функцыя размеркавання]] выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца [[інтэграл Лебега — Стыльт’еса|інтэгралам Лебега — Стыльт’еса]]<ref name=elemienty/>{{rp|112}}:
: <math>\mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x)</math>, <math>x \in \mathbb R</math>.

=== Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання) ===
Матэматычнае спадзяванне [[Абсалютна непарыўная выпадковая велічыня|абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні]], размеркаванне якой вызначаецца [[Шчыльнасць імавернасці|шчыльнасцю]] <math>f_X(x)</math>, роўнае<ref name=elemienty/>{{rp|112}}
: <math>\mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx</math>.

=== Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні ===
Калі <math>X</math> — [[дыскрэтная выпадковая велічыня]], з [[Размеркаванне імавернасцей|размеркаваннем]]
: <math>\mathbb{P}(X=x_i) = p_i</math> , <math>\sum\limits_{i} p_i = 1</math>,
тады непасрэдна з азначэння [[Інтэграл Лебега|інтэграла Лебега]] вынікае, што<ref name=elemienty/>{{rp|112}}
: <math>\mathbb{E}[X]=\sum\limits_{i} x_i\, p_i</math>.

==== Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні ====
* Калі <math>X</math> — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей
: <math>\mathbb{P}(X=j) = p_j</math> , <math>j=0,1,\dotsc</math>, <math>\sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1</math>,
то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз [[Утваральная функцыя паслядоўнасці|утваральную функцыю паслядоўнасці]] <math>\{p_i\}</math>
: <math>P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k </math>

== Уласцівасці матэматычнага спадзявання ==
* Матэматычнае спадзяванне [[канстанта|канстанты]] ёсць сама канстанта.
:: <math>\mathbb{E}[a] = a</math>
: <math>a \in \mathbb{R}</math> — канстанта;

* Матэматычнае спадзяванне [[лінейная функцыя|лінейнае]], то бок
:: <math>\mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y]</math>,
: дзе <math>X,Y</math> — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а <math>a,b\in \mathbb{R}</math> — любыя канстанты;
: У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

* Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі <math>0 \leqslant X \leqslant Y</math> [[амаль напэўна]], і <math>Y</math> — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні <math>X</math> таксама канечнае, і больш за тое:
:: <math>0 \leqslant \mathbb{E}[X] \leqslant \mathbb{E}[Y]</math>.

* Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі <math>X = Y</math> амаль напэўна, то
:: <math>\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]</math>.

* Матспадзяванне здабытку двух [[Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)|незалежных]] або [[Карэляцыя|некарэляваных]] выпадковых велічынь <math>X,Y</math> роўнае здабытку іх матспадзяванняў
:: <math>\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Y]</math>.

* Для ўсякай {{нп5|Барэлеўская функцыя|барэлеўскай|en|Borel function}} і [[Інтэгравальнасць па меры|інтэгравальнай па меры]] <math>dF_X</math> функцыі{{efn|На практыцы гэтыя ўмовы часта выконваюцца.}} <math>\varphi : X(\Omega) \to \mathbb{R}</math> матэматычнае спадзяванне <math>\varphi (X)</math> існуе і роўнае<ref name=elemienty />{{rp|113}}
:: <math>\mathbb{E}[\varphi(X)] = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dF_X(x).</math>

=== Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем ===
[[Няроўнасць Маркава]] — для неадмоўнай выпадковай велічыні <math>X\colon \Omega \to \mathbb{R}^+</math>, азначанай на [[Прастора імавернасцей|прасторы імавернасцей]] <math>(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})</math> з канечным матспадзяваннем <math>\mathbb{E}(X)</math>, справядліва няроўнасць:
: <math>\mathbb{P}\left(X \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}</math>, дзе <math>a>0</math>.

[[Няроўнасць Енсена]] для матспадзявання [[выпуклая функцыя|выпуклай функцыі]] ад выпадковай велічыні. Няхай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — прастора імавернасцей, <math>X\colon\Omega\to \mathbb{R}</math> — азначаная на ёй выпадковая велічыня, <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — выпуклая [[барэлеўская функцыя]], такія што <math>X, \varphi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, тады
: <math>\varphi(\mathbb{E}(X)) \leqslant \mathbb{E}(\varphi(X))</math>. <br />

=== Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем ===

* [[Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць]]
* [[Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць]]

{{зноскі}}

== Заўвагі ==
{{notelist}}

== Літаратура ==
* Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // ''[[Эдмунд Іванавіч Звяровіч|Звяровіч Э. І.]]'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
* {{Крыніцы/Матэматычная энцыклапедыя|Матэматычнае спадзяванне|212}}
* {{Крыніцы/БелЭн|10|Матэматычнае чаканне||212}}

{{Статыстыка}}
{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей]]