Мера Хаусдорфа

У матэматыцы, меры Хаусдорфа — сямейства вонкавых мер, прапанаваных Феліксам Хаўсдорфам. Меры Хаусдорфа кожнаму падмноству прасторы $\mathbb {R} ^{n}$ (ці больш агульна, любой метрычнай прасторы) ставяць у адпаведнасць некаторы неадмоўны лік або дадатную бесканечнасць. Нуль-мерная Хаусдорфава мера раўняецца колькасці пунктаў у мностве (калі мноства канечнае) ці +∞ (калі мноства бесканечнае). Аднамерная мера Хаусдорфа простай крывой у $\mathbb {R} ^{n}$ раўняецца даўжыні гэтай крывой. Гэтак жа двухмерная Хаусдорфава мера вымернага мноства ў $\mathbb {R} ^{2}$ прапарцыянальная плошчы мноства. Адсюль відаць, што паняцце меры Хаусдорфа абагульняе паняцці колькасці (або магутнасці канечнага мноства), даўжыні, плошчы і аб'ёму. На самай справе існуюць d-мерныя меры Хаусдорфа для любога d ≥ 0 (не абавязкова цэлага). Гэтыя меры ляжаць у аснове геаметрычнай тэорыі меры. Яны таксама натуральным чынам узнікаюць у гарманічным аналізе і тэорыі патэнцыялу.

Азначэнне

Няхай $(X,\rho )$ — метрычная прастора. Дыяметр мноства $U\subset X$ абазначым наступным чынам:

$\operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\}.$

Прымем па азначэнню:

$\operatorname {diam} \varnothing :=0.$

Няхай $S$ — адвольнае падмноства $X,$ а $\delta >0$ — рэчаісны лік. Вызначым функцыю

$H_{\delta }^{d}(S):=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\ \operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\}.$

Тут дакладная ніжняя мяжа бярэцца па ўсіх злічальных пакрыццях мноства $S$ мноствамі $U_{i}\subset X$ з дыяметрамі, меншымі за δ.

Варта заўважыць, што $H_{\delta }^{d}(S)$ манатонна спадае пры нарастанні δ, бо чым большае δ — тым больш магчымых пакрыццяў мноства, што, відавочна, можа толькі панізіць дакладную ніжнюю мяжу. Адсюль вынікае, што граніца

$\lim \limits _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$

існуе, але можа раўняцца дадатнай бесканечнасці.

Няхай

$H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).$

Функцыя $H^{d}(S)$ з'яўляецца вонкаваю мерай (а дакладней, метрычнай вонкавай мерай) і называецца d-мернаю мерай Хаусдорфа мноства S.

Па агульнай тэорыі, яе абмежаванне на σ-алгебру вымерных па Каратэадоры мностваў з'яўляецца мерай. Дзякуючы ўласцівасцям метрычнай вонкавае меры, усе барэлеўскія падмноствы прасторы X вымерныя адносна меры H^d.

У вышэйпрыведзеным азначэнні мноствы ў пакрыццях могуць быць адвольнымі. Нягледзячы на гэта, можна разглядаць пакрыцці ці аднымі толькі адкрытымі мноствамі, ці толькі замкнутымі, у выніку гэта ўсё роўна прывядзе да той жа меры, хоць прыбліжэнні $H_{\delta }^{d}(S)$ пры гэтым могуць адрознівацца. Калі $X$ — унармаваная прастора, можна разглядаць пакрыцці толькі выпуклымі мноствамі. Але калі браць пакрыцці толькі шарамі, у выніку атрымаецца іншая мера.

Уласцівасці Хаусдорфавых мер

Варта заўважыць, што калі d — дадатны цэлы лік, d-мерная Хаусдорфава мера на $\mathbb {R} ^{d}$ ёсць проста змененая ў маштабе d-мерная мера Лебега $\lambda _{d}$, якая ўнармавана так, што Лебегава мера адзінкавага куба [0,1]^d роўная 1. На самай справе, для любога Барэлеўскага мноства E:

$\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E)\,$

дзе α_d — аб'ём адзінкавага d-шара; яго можна вылічыць праз гама-функцыю Эйлера

$\alpha _{d}={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})^{d}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.$

Заўвага. Некаторыя аўтары ў якасці азначэння меры Хаусдорфа прымаюць іншае, якое трохі адрозніваецца ад прыведзенага вышэй, розніца заключаецца ў том, што яе нармуюць так, каб Хаусдорфава d-мерная мера ў выпадку еўклідавай прасторы дакладна супадала з Лебегавай мерай.

Сувязь з размернасцю Хаусдорфа

Існуе шэраг раўназначных азначэнняў размернасці Хаусдорфа. Напрыклад, такое:

$\operatorname {dim} _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)>0\},$

дзе прынята па азначэнню

$\inf \varnothing :=\infty .$

Абагульненні

У геаметрычнай тэорыі меры і сумежных раздзелах для вымярэння памеру падмноства метрычнай прасторы з мерай часта выкарыстоўваецца т.зв. аб'ём Мінкоўскага. Для зручных (г.зн. не вельмі складаных і мудрагелістых) абсягаў у еўклідавай прасторы гэтыя два паняцці памеру супадаюць з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які залежыць ад дамоўленасцей. А іменна, кажуць, што падмноства прасторы $\mathbb {R} ^{n}$ называецца m-выпрастальным (квадравальным, кубавальным), калі яно з'яўляецца вобразам абмежаванага падмноства прасторы $\mathbb {R} ^{n}$ пры Ліпшыцавым адлюстраванні. Калі m < n, тады m-мерны аб'ём Мінкоўскага замкнутага m-выпрастальнага падмноства ў $\mathbb {R} ^{n}$ раўняецца m-мернай меры Хаусдорфа, дамножанай на $2^{-m}\alpha _{m}.$

У фрактальнай геаметрыі некаторыя фракталы з Хаусдорфавай размернасцю d маюць нулявую або бесканечную d-меру Хаусдорфа. Напрыклад, амаль напэўна траекторыя плоскага броўнаўскага руху мае размернасць Хаусдорфа 2, а яе двухмерная мера Хаусдорфа роўная нулю. Каб "вымераць" "памер" такіх мностваў, была прыдумана наступнае абагульненне паняцця Хаусдорфавай меры:

У азначэнні меры складнікі $|U_{i}|^{d}$ замяняюцца на $\phi (U_{i}),$ дзе $\phi$ — любая манатонна нарастаючая функцыя мноства, якая задавальняе ўмову $\phi (\varnothing )=0.$

Вызначаная так мера называецца Хаусдорфавай мерай мноства $S$ з функцыяй размернасці $\phi$, ці $\phi$-Хаусдорфавай мераю. Можа здарыцца, што d-мернае мноства $S$ будзе мець звычайную меру Хаусдорфа $H^{d}(S)=0,$ але пры адпаведным выбары функцыі $\phi$ можна дабіцца выканання няроўнасці

$0<H^{\phi }(S)<+\infty .$

У якасці прыкладаў функцый размернасці можна прывесці такія:

$\phi (t)=t^{2}\,\log \log {\frac {1}{t}}$

або

$\phi (t)=t^{2}\,\log {\frac {1}{t}}\,\log \log \log {\frac {1}{t}}.$

Першая функцыя дае амаль напэўна дадатную і σ-канечную меру для броўнаўскай траекторыі ў $\mathbb {R} ^{n}$ пры n > 2, а апошняя — пры n = 2.

Гл. таксама

• Размернасць Хаусдорфа
• Вонкавая мера
• Тэорыя меры
• Геаметрычная тэорыя меры

Літаратура

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.
• Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-60656-4.
• Yan Kun (2007), Fractal Measure.
• Hausdorff, Felix (1918). Dimension und äusseres Mass. Mathematische Annalen. Vol. 79. pp. 157–179. doi:10.1007/BF01457179.
• Mattila P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability.. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
• Morgan, Frank (1988). Geometric Measure Theory. Academic Press.
• Yeh J. Real analysis: theory of measure and integration. — 2nd ed. — World Scientific, 2006. — xxi+738 с.

Спасылкі

• Размернасць Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі (англ.)
• Мера Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі (англ.)