Вонкавая мера

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Вонкавая мера (або знешняя мера) — адно з абагульненняў паняццяў даўжыні, плошчы і аб'ёму; з'яўляецца рэчаісназначнаю функцыяй, вызначанай на ўсіх падмноствах прасторы, якая адпавядае некаторым дадатковым умовам.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Агульная тэорыя вонкавае меры была распрацована Канстанцінам Каратэадоры з мэтай стварыць падмурак для тэорыі вымерных мностваў і злічальна-адытыўных мер. Працы Каратэадоры па вонкавай меры знайшлі нямала прымяненняў у тэорыі вымерных мностваў. Напрыклад, вонкавая мера выкарыстоўваецца ў доказе фундаментальнай тэарэмы Каратэадоры аб працягу меры), таксама яна была выкарыстана Хаусдорфам для вызначэння метрычнага інварыянта, які абагульняе паняцце размернасці, цяпер ён называецца размернасцю Хаусдорфа.

Выпадак лікавай прамой[правіць | правіць зыходнік]

Для адвольнага падмноства лікавай прамой можна знайсці неабмежавана многа розных сістэм, які складаюцца з канечнай ці злічальнай колькасці прамежкаў, аб'яднанне якіх утрымлівае мноства Назавём такія сістэмы пакрыццямі. А раз для любога пакрыцця сума даўжынь прамежкаў, якія яго ўтвараюць, — велічыня неадмоўная, то яна абмежавана знізу, і таму мноства даўжынь усіх пакрыццяў мае дакладную ніжнюю мяжу. Гэта мяжа, якая залежыць толькі ад мноства і называецца вонкаваю мерай:

Іншы раз вонкавую меру абазначаюць як:

Аксіяматычнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Няхай X — пэўнае ўніверсальнае мноства.

Вонкавая мера на мностве X — гэта функцыя

якая вызначана на ўсіх падмноствах мноства X і адпавядае наступным умовам:

  1. нуль на пустом мностве: пустое мноства мае нулявую вонкавую меру
  2. манатоннасць: для любых двух падмностваў A і B мноства X
  3. злічальная паўадытыўнасць: для любой паслядоўнасці падмностваў мноства X справядліва няроўнасць:

Пашырэнне мер (канструктыўнае азначэнне)[правіць | правіць зыходнік]

Няхай — мера, вызначаная на некаторым колцы K падмностваў мноства X. Справядліва наступная тэарэма:

Няхай функцыя вызначана на мностве з дапамогай правіла:

  1. калі існуе хоць адно злічальнае пакрыццё мноства элементамі з колца K, то
  2. у адваротным выпадку

Тады з'яўляецца вонкавай мерай на X, а на колцы K супадае з мерай

Часта гэту тэарэму прымаюць у якасці азначэння вонкавай меры. Пры гэтым аксіёмы вонкавай меры (а іменна, нуль на пустом мностве, манатоннасць і злічальная паўадытыўнасць) выводзяцца з аксіём звычайнай меры як уласцівасці (тэарэмы).

Уласцівасці вонкавай меры[правіць | правіць зыходнік]

  • Для любога падмноства A і любой паслядоўнасці падмностваў мноства X

Доказ: з аксіём манатоннасці і злічальнай адытыўнасці маем:

μ*-вымерныя мноствы[правіць | правіць зыходнік]

Дапаўненне мноства E ў X абазначым як E':

Няхай — некаторая вонкавая мера, вызначаная на мностве X.

Мноства называецца -вымерным, калі для любога справядліва роўнасць:

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989