Гама-функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці

Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Γ(z).

Для натуральных n справядліва роўнасць:

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогаю збежнага неўласцівага інтэграла:

Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

Азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай

Інтэгральнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

дзе контур — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з'яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

Азначэнне па Гаусу[правіць | правіць зыходнік]

Яно вернае для ўсіх камплексных , за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

Азначэнне па Эйлеру[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнне па Веерштрасу[правіць | правіць зыходнік]

дзе пастаянная Эйлера — Маскероні.

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

справядліва для падынтэгральнага выразу.
  • з'яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
  • У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:

і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.
Jahnke gamma function.png
  • Формула дапаўнення Эйлера:
  • З яе вынікае формула памнажэння Гауса been:
  • якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
  • Гама-функцыя мае полюс у для любога натуральнага і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
  • Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных , акрамя недадатных цэлых лікаў:
дзе пастаянная Эйлера — Маскероні.
  • Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
    .
  • Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
дзе часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.
  • Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:

Асобныя значэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
    дзе AGM(x, y)сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае(англ.) бел. лікаў x і y.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Купцов Л. П. Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]