Гама-функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці

Гама-функцыя (або Эйлераў інтэграл другога роду) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай гама Γ(z).

Для натуральных n справядліва роўнасць:

\Gamma(n) = (n-1)!

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогаю збежнага неўласцівага інтэграла:

 \Gamma(t) = \int\limits_0^\infty  x^{t-1} e^{-x}\, dx.

Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

Азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай

Інтэгральнае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку z дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty} t^{{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}(z)>0

На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).

Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

~\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi {\mathrm z}}-1}\int\limits_L\!t^{{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

дзе контур L — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт t = 0 супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з'яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

Азначэнне па Гаусу[правіць | правіць зыходнік]

Яно вернае для ўсіх камплексных z, за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

Азначэнне па Эйлеру[правіць | правіць зыходнік]

\Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

Азначэнне па Веерштрасу[правіць | правіць зыходнік]

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\},

дзе \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722пастаянная Эйлера — Маскероні.

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

справядліва для падынтэгральнага выразу.
\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая пі-функцыя, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
    \Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).
  • У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:
\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty {t^{a-1} e^{-t}\,dt},

і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z} {t^{a-1} e^{-t}\,dt}.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.
Jahnke gamma function.png
  • Формула дапаўнення Эйлера:
    \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.
  • З яе вынікае формула памнажэння Гауса(англ.) бел.:
    \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),
  • якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
    
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\!
  • Гама-функцыя мае полюс у z=-n для любога натуральнага n і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
    \operatorname{Res}_{z=-n} \Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.
  • Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных z, акрамя недадатных цэлых лікаў:
    \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{z/k},
дзе \gammaпастаянная Эйлера — Маскероні.
  • Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
    \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}).
  • Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
    \Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x),
дзе \psi(x) часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.

Асобныя значэнні[правіць | правіць зыходнік]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Купцов Л. П. Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]