Прагляд зыходнага тэксту старонкі Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)

{{Тэорыя імавернасцей}}
'''Незалежнасць ''' — фундаментальнае паняцце [[тэорыя імавернасцей|тэорыі імавернасцей]] і [[Статыстыка|статыстыкі]]. Дзве [[выпадковая падзея|падзеі]] завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на [[імавернасць]] здзяйснення іншай.

== Азначэнне ==

=== Для дзвюх падзей ===
Дзве падзеі <math>A</math> і <math>B</math> завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасць<ref name=elemienty>''Звяровіч Э. І.'', ''Радына А. Я.'' Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.</ref>{{rp|41}}
<math display="block">P(AB) = P(A) P(B).</math>

Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць [[Умоўная імавернасць|умоўнай імавернасці]] <math>P(A|B)</math> і імавернасці <math>P(A)</math>, калі ўмоўная імавернасць існуе (<math>P(B) > 0</math>)<ref name=elemienty/>{{rp|42}}. Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць:
<math display="block">P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A).</math>

=== Для канечнай колькасці падзей ===
Падзеі <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей <math>\{A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}\}</math>, дзе <math>1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_k \leq n</math>, <math>2 \leq k \leq n</math>, праўдзіцца роўнасць

<math display="block">P(A_{i_1} A_{i_2} \dots A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \dots P(A_{i_k}).</math>

У процілеглым выпадку падзеі <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math> называюцца залежнымі<ref name=elemienty/>{{rp|43-44}}.

У выпадку незалежнасці падзей <math>A_1, A_2, \dots, A_n</math>, для кожных двух {{нп5|Дыз’юнктныя мноствы|дыз’юнктных падмностваў|en|Disjoint sets}} <math>\{A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}\}</math> і <math>\{A_{j_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_s}\}</math> выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:

<math display="block">P(A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k} | A_{j_1}, A_{j_2}, \dots, A_{j_s}) = P(A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}).</math>

== Незалежнасць у сукупнасці і парамі ==
Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае [[падмноства]] мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасці<ref name=elemienty/>{{rp|44}}.

=== Прыклад ===
[[File:Pairwise independent.svg|thumb|Падзеі незалежныя парамі, але залежныя ў сукупнасці]]
[[File:Mutually independent.svg|thumb|Падзеі незалежныя ў сукупнасці]]

Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках, <math>\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = 1/2</math> and <math>\mathrm{P}(C) = 1/4</math>. Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо <math>\mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(A|C)=1/2=\mathrm{P}(A)</math>, <math>\mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B|C)=1/2=\mathrm{P}(B)</math> і <math>\mathrm{P}(C|A) = \mathrm{P}(C|B)=1/4=\mathrm{P}(C)</math>; але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

:<math>\mathrm{P}(A|BC) = \frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40} + \frac{1}{40}} = \tfrac{4}{5} \ne \mathrm{P}(A)</math>
:<math>\mathrm{P}(B|AC) = \frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40} + \frac{1}{40}} = \tfrac{4}{5} \ne \mathrm{P}(B)</math>
:<math>\mathrm{P}(C|AB) = \frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40} + \frac{6}{40}} = \tfrac{2}{5} \ne \mathrm{P}(C)</math>

У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:
:<math>\mathrm{P}(A|BC) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \tfrac{1}{2} = \mathrm{P}(A)</math>
:<math>\mathrm{P}(B|AC) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \tfrac{1}{2} = \mathrm{P}(B)</math>
:<math>\mathrm{P}(C|AB) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{3}{16}} = \tfrac{1}{4} = \mathrm{P}(C)</math>

{{зноскі}}

{{Бібліяінфармацыя}}

[[Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей]]