Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)

Незалежнасць  — фундаментальнае паняцце тэорыі імавернасцей і статыстыкі. Дзве падзеі завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на імавернасць здзяйснення іншай.

Азначэнне

Для дзвюх падзей

Дзве падзеі $A$ і $B$ завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасць^:41

$$P(AB)=P(A)P(B).$$

Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць умоўнай імавернасці $P(A|B)$ і імавернасці $P(A)$, калі ўмоўная імавернасць існуе ($P(B)>0$)^:42. Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць:

$$P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}={\frac {P(A)P(B)}{P(B)}}=P(A).$$

Для канечнай колькасці падзей

Падзеі $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей $\{A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}\}$, дзе $1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k}\leq n$, $2\leq k\leq n$, праўдзіцца роўнасць

$$P(A_{i_{1}}A_{i_{2}}\dots A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})\dots P(A_{i_{k}}).$$

У процілеглым выпадку падзеі $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ называюцца залежнымі^:43-44.

У выпадку незалежнасці падзей $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$, для кожных двух дыз’юнктных падмностваў $\{A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}\}$ і $\{A_{j_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{s}}\}$ выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:

$$P(A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}|A_{j_{1}},A_{j_{2}},\dots ,A_{j_{s}})=P(A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}).$$

Незалежнасць у сукупнасці і парамі

Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае падмноства мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасці^:44.

Прыклад

Падзеі незалежныя парамі, але залежныя ў сукупнасці

Падзеі незалежныя ў сукупнасці

Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках, $\mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (B)=1/2$ and $\mathrm {P} (C)=1/4$. Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо $\mathrm {P} (A|B)=\mathrm {P} (A|C)=1/2=\mathrm {P} (A)$, $\mathrm {P} (B|A)=\mathrm {P} (B|C)=1/2=\mathrm {P} (B)$ і $\mathrm {P} (C|A)=\mathrm {P} (C|B)=1/4=\mathrm {P} (C)$; але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

$\mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (A)$

$\mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (B)$

$\mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {6}{40}}}}={\tfrac {2}{5}}\neq \mathrm {P} (C)$

У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:

$\mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (A)$

$\mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (B)$

$\mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{16}}}}={\tfrac {1}{4}}=\mathrm {P} (C)$