Тэарэма Эйлера ў тэорыі лікаў абвяшчае:
Частковым выпадкам тэарэмы Эйлера з'яўляецца малая тэарэма Ферма (пры простым m). У сваю чаргу, тэарэма Эйлера з'яўляецца следствам тэарэмы Лагранжа.
Хай — усе розныя натуральныя лікі, меншыя і ўзаемна простыя з ім.
Разгледзім усе магчымыя здабыткі для ўсіх ад да
Паколькі ўзаемна просты з і ўзаемна просты з , то і таксама ўзаемна просты з , г. зн. для некаторага .
Адзначым, што ўсе астачы пры дзяленні на розныя. Сапраўды, хай гэта не так, то існуюць такія , што
або
Так як ўзаемна просты з , то апошняе роўнасць раўнасільная таму , што
- или .
Гэта супярэчыць таму, што лікі парамі розныя па модулю .
Перамножым ўсе параўнанні выгляду . Атрымаем:
або
- .
Паколькі лік ўзаемна просты з , то апошняе параўнанне раўнасільнае таму, што
или
- ■
Разгледзім мультыплікатыўную групу абаротных элементаў колцы вылікаў . Яе парадак роўны паводле вызначэння функцыі Эйлера. Паколькі лік ўзаемна просты з , элемент у , які адпавядае яму, з'яўляецца абаротным і належыць . Элемент спараджае цыклічную падгрупу, парадак якой, згодна з тэарэме Лагранжа, дзеліць , адсюль . ■