Бэта-функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Графік бэта-функцыі пры рэчаісных аргументах

У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:

\Beta(x,y)=\int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

вызначаная пры \Re(x)>0, \Re(y)>0.

Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць

 \Beta(x,y) = \Beta(y,x).

Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:

\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)},

дзе \Gamma(x)гама-функцыя;

\Beta(x,y)=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0;
\Beta(x,y)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0;
\Beta(x,y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)},

дзе (x)_n — сыходны фактарыял, роўны x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot\ldots\cdot(x-n+1).

Як гама-функцыя для цэлых лікаў з'яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з'яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:

\mathrm{C}_n^k = \frac{1}{(n+1)\Beta(n-k+1, k+1)}.

Вытворныя[правіць | правіць зыходнік]

Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:

{\partial\over\partial x}\Beta(x,y)=\Beta(x,y)\left( {\Gamma^\prime(x)\over\Gamma(x)}-{\Gamma^\prime(x+y)\over\Gamma(x+y)}\right)=\Beta(x,\;y)(\psi(x)-\psi(x+y)),

дзе \psi(x)дыгама-функцыя.

Няпоўная бэта-функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку [0,1] на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:

\Beta_x(a,b)=\int\limits_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.

Пры x=1 няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:

I_x(a,b)=\frac{\Beta_x(a,b)}{\Beta(a,b)}.

Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыі[правіць | правіць зыходнік]

I_0(a,b)=0;
I_1(a,b)=1;
I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a);
 I_x(a+1,b) = I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a B(a,b)}.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Битюцков В. И. Бета-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]