Градыент

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Аперацыя градыента пераўтварае пагорак (злева), калі глядзець на яго зверху, у поле вектараў (справа). Відаць, што вектары накіраваны «ў горку» і тым даўжэйшыя, чым круцейшы нахіл.

У вектарным злічэнні градые́нт скалярнага полявектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці \varphi вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад'ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з'явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне grad таксама прапанаваў Максвел.

Стандартныя абазначэнні:

\mathrm{grad}\,\varphi

або, з выкарыстаннем аператара набла,

\nabla \varphi

— замест \varphi можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад \mathrm{grad}\, V, \nabla V — абазначэнне градыента поля V.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

У выпадку трохмернай прасторы градыентам скалярнай функцыі \varphi = \varphi(x,y,z) каардынат x, y, z называецца вектарная функцыя з кампанентамі

\left(\frac {\partial \varphi} {\partial x},\frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}\right).

Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z, градыент можна запісаць у выглядзе:

\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.

Калі \varphi — функцыя n зменных x_1,\ldots,x_n, то яе градыентам называецца n-мерны вектар

\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),

кампаненты якога роўныя частковым вытворным \varphi па яе адпаведных аргументах.

  • Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
  • Аператарам градыента (які звычайна абазначаюць як \mathrm{grad} або \nabla) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста "градыентам".

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі f у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння d\mathbf{x} дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана f, г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення f пры перамяшчэнні на d\mathbf{x}. Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 
+ \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат x_i, г.зн. ад прыроды параметраў x увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з'яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз d\mathbf{x} — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

df=(\partial_i f)\,dx^i

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй). Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Напрыклад, градыент функцыі \varphi(x,y,z)=2x+3y^2-\sin z будзе роўны:

\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,6y,-\cos z)

У фізіцы[правіць | правіць зыходнік]

У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

У прыродазнаўчых навуках[правіць | правіць зыходнік]

Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпературы — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

Геаметрычны сэнс[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі \varphi:

\gamma(h)=\{(x_1,\ldots,x_n) : \varphi(x_1,\ldots,x_n)=h\}.

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі \varphi у кропцы \vec{x}^0 перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі \vec{x}^0, г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад'ёму ў дадзенай кропцы.

Сувязь з вытворнаю па напрамку[правіць | правіць зыходнік]

Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі \varphi па напрамку \vec{e}=(e_1,\ldots,e_n) раўняецца скалярнаму здабытку градыента \varphi на адзінкавы вектар \vec{e}:

 \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\vec e)

Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з'яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах[правіць | правіць зыходнік]

\operatorname{grad} U(q_1,q_2,q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,

дзе H_iкаэфіцыенты Ламе.

Палярныя каардынаты (на плоскасці)[правіць | правіць зыходнік]

Каэфіцыенты Ламе:

\begin{array}{l}
H_1 = 1; \\
H_2 = r.
\end{array}

Адсюль:

\operatorname{grad} U(r,\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.

Цыліндрычныя каардынаты[правіць | правіць зыходнік]

Каэфіцыенты Ламе:

\begin{array}{l}
H_1 = 1; \\
H_2 = r; \\
H_3 = 1.
\end{array}

Адсюль:

\operatorname{grad} U(r,\theta,z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.

Сферычныя каардынаты[правіць | правіць зыходнік]

Каэфіцыенты Ламе:

\begin{array}{l}
H_1 = 1; \\
H_2 = r; \\
H_3 = r\sin{\theta}.
\end{array}

Адсюль:

\operatorname{grad} U(r, \theta, \varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30