Фігуры Лісажу

Фігуры Лісажу

Фігуры Лісажу́ — замкнутыя траекторыі, намаляваныя кропкай, якая здзяйсняе адначасова два гарманічных ваганні у двух узаемна перпендыкулярных напрамках. Упершыню даследваны французскім навукоўцам Жулем Антуанам Лісажу. Выгляд фігур залежыць ад суадносінаў паміж перыядамі (частотамі), фазамі і амплітудамі абодвух ваганняў. У найпростым выпадку равенства абодвух перыядаў фігуры ўяўляюць сабой эліпсы, які пры разнасці фаз 0 альбо $\pi$ выраджаюцца ў адрэзкі прамых, а пры рознасці фаз ${\frac {\pi }{2}}$ і роўнасці амплітудаў пераўтвараецца ў акружнасць. Калі перыяды абодвух ваганняў недакладна супадаюць, то рознасць фазаў увесь час змяняецца, з прычыны чаго эліпс увесь час дэфармуецца. Пры істотна розных перыядах фігуры Лісажу не назіраюцца. Аднак, калі перыяды суадносяцца як цэлыя лікі, то праз прамежак часу, роўны найменьшаму кратнаму абодвух перыядаў, рухомая кропка зноў вяртаецца ў тое ж месца — атрымліваюцца фігуры Лісажу больш складанай формы. Фігуры Лісажу упісваюцца ў прамавугольнік, цэнтр якога супадае з пачаткам каардынат, а бакі паралельныя восям каардынат і змешчаны па абодвух баках ад іх на адлегласцях, роўных амплитудам ваганняў.

Матэматычны выраз для крывой Лісажу

$\left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.$

дзе A, B — амплітуды ваганняў, a, b — частоты, δ — зрух фаз

Выгляд крывой істотна залежыць ад суадносінаў a/b. Калі суадносіны роўныя 1, фігура Лісажу мае выгляд эліпсу, пры пэўных умовах яна мае выгляд акружнасці (A = B, δ = π/2 радыян) і адрэзка прамой (δ = 0). Яшчэ адзин прыклад фігуры Лісажу — парабала (a/b = 2, δ = π/2). Пры іншых суадносінах фігуры Лісажу ўяўляюць сабой больш складаныя фігуры, якія з'яўляюцца замкнутыми пры ўмове a/b — рацыянальны лік.

Фігуры Лісажу, дзе a = 1, b = N (N — натуральны лік) і

$\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\$

з'яўляюцца паліномамі Чабышова першага рода ступені N.

Прыклады

Анімацыя ўнізе дэманструе змяненне крывых пры стала ўзрастаючых суадносінах ${\frac {a}{b}}$ ад 0 да 1 з крокам 0.01. (δ=0)

Прыклады фігур Лісажу ніжэй з δ = π/2, няцотным натуральным лікам a, і таксама натуральным лікам b, і |a − b| = 1.

• 
  a = 1, b = 2 (1:2)
• 
  a = 3, b = 2 (3:2)
• 
  a = 3, b = 4 (3:4)
• 
  a = 5, b = 4 (5:4)
• 
  a = 5, b = 6 (5:6)
• 
  a = 9, b = 8 (9:8)

Выкарыстанне ў тэхніцы — параўнанне частот

Фігура Лісажу на экране асцылографа

Калі падаць на ўваходы «X» і «Y» асцылографа сігналы блізкіх частот, то на экране можна ўбачыць фігуры Лісажу. Гэты метад шырока ўжываны для параўнання частот сігналаў двух крыніц і для падстойкі адной крыніцы пад частату іншага. Калі частоты блізкія, але не роўныя адна адной, фігура на экране круціцца, прычым перыяд цыкла кручэння з'яўляецца велічынёй, адваротнай разнасці частот, напрыклад, калі перыяд абароту роўны 2 с — розніца ў частотах сігналаў роўная 0,5 Гц. Пры роўнасці частот фігура застаецца нерухомай, у любой фазе, аднак на практыцы, за кошт кароткачасовых нестабільнасцяў сігналаў, фігура на экране асцылографа звычайна ледзь-ледзь падрыгвае. Выкарыстоўваць для параўнання можна не толькі аднолькавыя частоты, але і тыя, што знаходзяцца ў кратных суадносінах, напрыклад, калі ўзорная крыніца можа выдаваць частату толькі 5 МГц, а аб'ект наладкі — 2,5 МГц.

Кручэнне фігуры Лісажу пры нязначным разладдзі частот

Літаратура

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981

Гл. таксама

• Ваганні
• Частата перыядычнага працэса
• Маятнік Фуко
• Канічнае сячэнне

Спасылкі

• On-line дэманстрацыя фігур Лісажу
• Circuits. Over Passive Circuits. Lissajous Figures