Пі

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Разгортка акружнасці і лік π

Лік π (чытаецца як «пі») — матэматычная пастаянная, якая азначаецца як адносіна даўжыні акружнасці да яе дыяметра. Абазначаецца грэчаскай літарай «пі».

Лік \pi ўпершыню з'явіўся ў геаметрыі як дзель даўжыні акружнасці на яе дыяметр. Гэта пастаянная натуральным чынам праяўляецца і ў многіх іншых галінах матэматыкі. Лік \pi ірацыянальны і трансцэндэнтны.

Грэчаскай літарай \pi гэту пастаянную ўпершыню абазначыў брытанскі матэматык Уільям Джонс (1706), а агульнапрынятым такое абазначэнне стала пасля прац Л. Эйлера. Абазначэнне паходзіць ад пачатковай літары грэчаскіх слоў περιφέρεια — акружнасць, перыферыя і περίμετρος — перыметр.

Набліжэнні[правіць | правіць зыходнік]

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Набліжэнні рацыянальнымі лікамі:

Суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

Вядома шмат формул для ліку \pi:

\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
e^{\pi i} + 1 = 0\;

Спосабы вылічэння[правіць | правіць зыходнік]

Прынцып Архімеда

Архімед, магчыма, першым прапанаваў спосаб вылічэння ліку \pi як граніцы. Для гэтага ён упісваў у акружнасць і апісваў каля яе правільныя многавугольнікі. Прымаючы дыяметр акружнасці за адзінку, Архімед разглядаў перыметр упісанага многавугольніка як ніжнюю ацэнку даўжыні акружнасці, а перыметр апісанага многавугольніка як верхнюю ацэнку. Так, для шасцівугольніка (гл. малюнак) атрымліваецца 3 < \pi < 2\sqrt{3}.

Разглядаючы правільны 96-вугольнік, Архімед атрымаў ацэнку 3\frac{10}{71} < \pi <3\frac{1}{7}.

У Новы час для вылічэння \pi выкарыстоўваюцца аналітычныя метады, заснаваныя на тоеснасцях. Прыведзеныя вышэй формулы малапрыдатныя для вылічальных мэт, бо ў іх або выкарыстоўваюцца павольна збежныя шэрагі, або трэба выконваць складаную аперацыю здабывання квадратнага кораня.

Першую эфектыўную формулу знайшоў у 1706 Джон Мэчын (John Machin):

\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}

Расклаўшы арктангенс у шэраг Тэйлара, можна атрымаць хутка збежны шэраг, прыдатны для вылічэння ліку \pi з вялікай дакладнасцю.

Яшчэ хутчэй працуюць алгарытмы, заснаваныя на формулах Рамануджана

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 \, 396^{4k}}

і Чудноўскага

\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 \, 640320^{3k + 3/2}}

У 1997 Дэйвід Х. Бэйлі, Пітэр Боруэйн і Сайман Плуфф адкрылі спосаб[1] хуткага вылічэння адвольнай двайковай лічбы ліку \pi без вылічэння папярэдніх лічб, заснаваны на формуле

\pi = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)

Цікава ведаць[правіць | правіць зыходнік]

Сусветны рэкорд па запамінанні знакаў ліку Пі належыць японцу Акіры Харагучы (Akira Haraguchi). Ён запомніў лік Пі да 100-тысячнага знака пасля коскі. Яму спатрэбілася амаль 16 гадзін, каб назваць увесь лік цалкам.

Неафіцыйнае свята[правіць | правіць зыходнік]

Неафіцыйнае свята «Дзень ліку Пі» (Pi Day) адзначаецца 14 сакавіка, якое ў амерыканскім фармаце дат запісваецца як 3.14, што адпавядае набліжанаму значэнню Пі.

Яшчэ адной датай, звязанай з лікам Пі, з'яўляецца 22 ліпеня, якое называецца «Днём набліжанага ліку Пі» (Pi Approximation Day), бо ў еўрапейскім фармаце дат гэты дзень запісваецца як 22/7, а значэнне гэтага дробу з'яўляецца набліжаным значэннем ліку Пі.

Зноскі

  1. David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe. On the rapid computation of various polylogarithmic constants (англ.).

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]