Ін’екцыя (матэматыка)

Ін’ектыўная функцыя.

Ін’екцыя у матэматыцы — адлюстраванне $f$ мноства $X$ у мноства $Y$ ($f\colon X\to Y$), пры якім розныя элементы мноства $X$ адлюстроўваюцца ў розныя элементы мноства $Y$, гэта значыць, што калі два вобразы пры адлюстраванні супадаюць, то супадаюць і правобразы: $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$.

Ін’екцыю таксама называюць укладаннем або адна-адназначным адлюстраваннем (у адрозненне ад біекцыі, якая ўзаемна-адназначная). У адрозненне ад сюр’екцыі, пра якую гавораць, што яна адлюстроўвае адно мноства на іншае, аб ін’екцыі $f\colon X\to Y$ аналагічная фраза фармулюецца як адлюстраванне $X$ у $Y$.

Ін’екцыю можна таксама азначыць як адлюстраванне, для якога існуе левае адваротнае, гэта значыць, $f\colon X\to Y$ ін’ектыўнае, калі існуе $g\colon Y\to X$, пры якім $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$.

Паняцце ін’екцыі (разам з сюр’екцыяй і біекцыяй) з’явілася у працах Бурбакі і атрымала шырокае распаўсюджванне амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі.

Абагульненнем паняцця ін’екцыі у тэорыі катэгорый з’яўляецца паняцце манамарфізма, у многіх катэгорыях гэтыя паняцці эквівалентныя, аднак гэта выканана не заўжды.

Прыклады:

• $f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ — ін’ектыўная.
• $f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$ — ін’ектыўная.
• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}$— не з’яўляецца ін’ектыўнай ($f(-2)=f(2)=4$).

Літаратура

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов.