Біекцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search
Біектыўная функцыя.

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з'яўляецца адначасова і сюр'ектыўным, і ін'ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць ўзаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Калі між двума мноствамі можна выявіць ўзаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноства называюцца роўнамагутнымі. З пункта погляду тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя называецца біекцыяй (і пазначаецца ), калі яна:

  1. Пераводзіць розныя элементы мноства у розныя элементы мноства  (ін'ектыўнасць).  Іначай кажучы,
    • .
  2. Кожны элемент з  мае свой правобраз (сюр'ектыўнасць). Іначай кажучы,
    • .

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Тоеснае адлюстраванне на мностве біектыўнае.
  •   — біектыўныя функцыі з  у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з'яўляецца біекцыяй з  у сябе.
  •   — біектыўная функцыя з  у .
  •   не з'яўляеца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім .
  • Строга манатонная і непрарыўнаяя функцыя  з'яўляецца біекцыяй з адрэзка на адрэзак .

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Кампазіцыя ін'екцыі і сюр'екцыі, якая дае біекцыю.
  • Функцыя з'яўуляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя такая, што
и
  • Калі функцыі і біектыўныя, то і кампазіцыя функцый біектыўная, у гэтым выпадку . Коратка: кампазіцыя біекцый з'яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі біектыўная, то мы можам казаць толькі, што ін'ектыўная, а сюр'ектыўная.

Крыніцы[правіць | правіць зыходнік]