Адваротная матрыца

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Адваротная матрыца — такая матрыца A−1, пры дамнажэнні на якую, зыходная матрыца A дае ў выніку адзінкавую матрыцу E:

\! AA^{-1} = A^{-1}A = E.

Квадратная матрыца абарачальная тады і толькі тады, калі яна нявыраджаная, гэта значыць яе вызначнік не роўны нулю. Для неквадратных матрыц і выраджаных матрыц адваротных матрыц не існуе. Аднак магчыма абагульніць гэта паняцце і ўвесці псеўдаадваротныя матрыцы, падобныя на адваротныя па многіх уласцівасцях.

Уласцівасці адваротнай матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

  • \det A^{-1} = \frac{1}{\det A}, дзе \det абазначае вызначнік.
  • \ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} для любых дзвюх абарачальных матрыц A і B.
  • \ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T, дзе *^T абазначае транспанаваную матрыцу.
  • \ (kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1} для любога каэфіцыента k\not=0.
  • Калі неабходна рашыць сістэму лінейных ураўненняў Ax=b, (b — ненулявы вектар) дзе x — шуканы вектар, і калі A^{-1} існуе, то x=A^{-1} b. У адваротным выпадку альбо размернасць прасторы рашэнняў большая за нуль, альбо іх няма зусім.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Матрыца 2х2[правіць | правіць зыходнік]

A^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
\end{bmatrix}.

Абарачэнне матрыцы 2х2 магчыма толькі пры ўмове, што ad - bc = \det A \neq 0 .