Адлюстроўваючая функцыя

Адлюстроўваючая функцыя (руск.: отражающая функция) — функцыя, якая злучае мінулы стан сістэмы з яе будучым станам у сіметрычны момант часу. Паняцце адлюстроўваючай функцыі ўведзена Уладзімірам Іванавічам Міроненкам.

Дэфініцыя

Хай $\varphi (t;t_{0},x)$ ёсць агульнае рашэнне у форме Кашы сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў ${\dot {x}}=X(t,x),$ рашэнні якой адназначна вызначаюцца сваімі пачатковымі дадзенымі. Адлюстроўваючая функцыя гэтай сістэмы вызначаецца формулай $F(t,x)=\varphi (-t;t,x).$

Ужыванне

Для $\,2\omega$ -перыядычнай па зменнай $t$ сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў з адлюстроўваючай функцыяй $\,F(t,x)$ адлюстраванне $\,\Pi (x)$ за перыяд $\,[-\omega ;\omega ]$ (адлюстраванне Пуанкарэ) знаходзіцца па формуле $\,\Pi (x)=F(-\omega ,x).$ Таму веданне адлюстроўваючай функцыі дазваляе знаходзіць пачатковыя дадзеныя $\,(\omega ,x_{0})$ для $\,2\omega$ -перыядычных рашэнняў $\varphi (t;-\omega ,x_{0})$ разглядваемай сістэмы і даследаваць гэтыя рашэнні на устойлівасць па Ляпунову. Адлюстроўваючая функцыя $\,F(t,x)$ сістэмы ${\dot {x}}=X(t,x)$ задавальняе так званым асноўным суадносінам

$\,F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,$ $\,F(0,x)=x.$

З дапамогай гэтых суадносін усталёўваецца, што для шматлікіх неінтэгруемых у квадратурах сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў адлюстраванне $\,\Pi (x)$ за перыяд $\,[-\omega ;\omega ]$ можа быць знойдзена нават праз элементарныя функцыі. У гэтым адлюстроўваючая функцыя можа быць супастаўлена з інтэгравальным множнікам.

Адлюстроўваючая функцыя выкарыстоўваецца пры даследаванні пытанняў існавання і ўстойлівасці перыядычных рашэнняў краявых задач для сістэм дыферэнцыяльных раўнанняў.

Літаратура

Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. — Минск, Университетское, 1986. — 76 с.
Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. — Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. — 196 с.

Спасылкі