Бра і кет

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да навігацыі Перайсці да пошуку
bra ket
бра кет
дуж ка

Бра і кет (англ.: bracket - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама абазначэннямі Дырака. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

Азначэнне і выкарыстанне[правіць | правіць зыходнік]

У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы элементы якой завуцца «вектары стана» («кет-вектары») і пазначаюцца сімвалам .

Кожнаму кет-вектару ставіцца ў адпаведнасць бра-вектар з прасторы, сапружанай да гэта значыць з

Бра-вектар з прасторы азначаецца раўнаннем:

для любога кет-вектара

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе ці

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны: На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі

Лінейныя аператары[правіць | правіць зыходнік]

Калі  — лінейны аператар з у , то дзеянне аператара на кет -вектар запісваецца як

Для кожнага аператара і бра-вектара уводзіцца функцыянал з прасторы гэта значыць бра-вектар, памножаны на аператар , што азначаецца роўнасцю:

для любого вектара

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара з бра-вектарам і кет-вектарам Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара ў акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — ) запісваецца у абазначэннях Дырака як а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане  — як

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

дзе  — гамильтаніян, а   — скаляр (энергія стану).

Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных[правіць | правіць зыходнік]

У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара ёсць бра-вектар (дзе  — уяўная адзінка). Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне стана (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад: Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

Матэматычныя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад, то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру , бра-вектары — памеру , аператары — памеру , дзе  — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы ). Матрыцы памеру 1 × 1 маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

дзе

Запіс тыпа заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева: кет-вектар — дужку справа: Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку — (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый кет-бра-аператар. Аператар мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам і Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар (пры ўмове нарміроўкі ) з'яўляецца праектарам на стан , дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў

Мае месца асацыятыўнасць:

.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
  • Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
  • Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.