Рад (матэматыка)

Простымі словамі, рад або шэраг — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}+\dots ,$

які і называецца лікавым радам са складнікамі $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots .$

Будзем казаць, што рад

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ яго частковых сум

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}.$

Гэты ліміт

$s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$

і называецца сумай рада.

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным.

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

• лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
• функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як e і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

Азначэнне

Няхай $\{a_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

$\{s_{k}\}_{k=1}^{\infty },$

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

$s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}.$

Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i},$

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

• лікавы рад збягаецца, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум;
• лікавы рад разбягаецца, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум:
• лікавы рад збягаецца абсалютна, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.

Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт $S$ паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

$S=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$

Аперацыі над радамі

Няхай зададзены збежныя рады $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ і $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$. Тады:

• іх сумай называецца рад $\sum (a_{n}+b_{n});$
• іх здабыткам па Кашы называецца рад $\sum c_{n}$, дзе $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.

Крытэр абсалютнай збежнасці

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$.

Рад $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады $b_{k}$ і $c_{k}$, дзе $a_{k}=b_{k}-c_{k},\left|a_{k}\right|=b_{k}+c_{k},b_{k}\geqslant 0,c_{k}\geqslant 0,\forall k.$

Доказ.

Калі збягаецца $\sum \left|a_{k}\right|,$ то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца $b_{k}$ і $\,c_{k}.$ Наадварот, калі збягаюцца $b_{k}$ і $c_{k},$ то збягаецца і іх сума $\sum \left|a_{k}\right|.$

Гл. таксама

• Функцыянальны рад
• Ступенны рад
• Рад Фур’е

Літаратура

• Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
• В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — 544 с.
• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W.. Series (нявызн.). MathWorld.

• Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001), "Series", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4