Бісектрыса

Бісектры́са (ад лац.: bi- «двайное», і sectio «разразанне») вугла — прамень, які пачынаецца ў вяршыні вугла і дзеліць яго на два роўныя вуглы^[1]. Бісектрыса вугла — геаметрычнае месца пунктаў унутры вугла, роўнааддаленых ад старон вугла.

У трохвугольніку пад бісектрысаю вугла разумеюць адрэзак бісектрысы гэтага вугла да яе перасячэння з процілеглаю стараною трохвугольніка.

Уласцівасці

Тэарэма аб бісектрысе: Бісектрыса ўнутранага вугла трохвугольніка дзеліць процілеглую старану ў адносіне, роўнай дзелі двух прылеглых старон.
Бісектрысы ўнутраных вуглоў трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце — інцэнтры — цэнтры упісанай у гэты трохвугольнік акружнасці.
Бісектрысы аднаго ўнутранага і двух вонкавых вуглоў трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт — цэнтр аднае з трох пазаўпісаных акружнасцей гэтага трохвугольніка.
Асновы бісектрыс двух унутраных і аднаго вонкавага вуглоў трохвугольніка ляжаць на адной прамой, калі бісектрыса вонкавага вугла не паралельная процілеглай старане трохвугольніка.
Калі бісектрысы вонкавых вуглоў трохвугольніка не паралельныя процілеглым старанам, то іх асновы ляжаць на адной прамой.
Калі ў трохвугольніку дзве бісектрысы роўныя, то трохвугольнік — раўнабедраны (тэарэма Штэйнера — Лемуса).
Пабудова трохвугольніка па трох вызначаных бісектрысах з дапамогаю цыркуля і лінейкі немагчымая^[2], прычым нават пры наяўнасці трысектара^[3].
У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса вугла, процілеглага аснове трохвугольніка, з'яўляецца медыянаю і вышынёю.

Даўжыня бісектрыс у трохвугольніку

Вывесці ніжэйпрыведзеныя формулы можна з дапамогаю тэарэмы Сцюарта.

l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}

l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}

l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}

дзе:

$l_{c}$ — даўжыня бісектрысы, праведзенай к старане $c$ ,
$a,b,c$ — стораны трохвугольніка насупраць вяршынь $A,B,C$ адпаведна,
$p$ — паўперыметр трохвугольніка,
$a_{l},b_{l}$ — даўжыні адрэзкаў, на якія бісектрыса $l_{c}$ дзеліць старану $c$ ,
$\alpha ,\beta ,\gamma$ — унутраныя вуглы трохвугольніка пры вяршынях $A,B,C$ адпаведна,
$h_{c}$ — вышыня трохвугольніка, апушчаная на старану $c$ .

Мнеманічнае правіла

Бісектрыса — гэта рыса, што выходзіць з самага вугла і дзеліць вугал роўненька на два.

Зноскі

↑ Биссектриса // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.
↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.

Літаратура

Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. М.: Наука. 1965. 56 с.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0

[1] Биссектриса // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб., 1890—1907.

[2] Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.

[3] Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.

[1]

[2]

[3]