Упісаная акружнасць

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search
Акружнасць, упісаная ў многавугольнік ABCDE

Акружнасць называюць упісанаю (умежанаю) у вугал, калі яна ляжыць унутры вугла і датыкаецца да яго старон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанаю ў выпуклы многавугольнік, калі яна ляжыць унутры дадзенага многавугольніка і датыкаецца да ўсіх яго старон.

У многавугольніку[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі ў дадзены выпуклы многавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных вуглоў дадзенага многавугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.
  • Радыус упісанай у многавугольнік акружнасці роўны адносіне яго плошчы да паўперыметра

У трохвугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

  • У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
  • Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх старон і з'яўляецца пунктам перасячэння бісектрыс трохвугольніка.
  • Радыус умежанай у трохвугольнік акружнасці роўны
  • Калі AB — аснова роўнастаронняга , то акружнасць, якая датыкаецца да старон ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
  • Формула Эйлера: , дзе — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, — радыус умежанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.
  • Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная старане AB, перасякае стораны BC і CA у пунктах A1 і B1, то .
  • Пункты дотыку ўмежанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі, утвараюць трохвугольнік T1.
    • Бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T1.
    • Хай T2 — ортатрохвугольнік T1. Тады яго стораны паралельныя сторанам зыходнага трохвугольніка T.
    • Хай T3 — пасярэдні трохвугольнік T1. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі T3.
    • Хай T4 — ортатрохвугольнік T3, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі T4.
  • Радыус умежанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны .
  • Адлегласць ад вяршыні С трохвугольніка да пункта, у якім умежаная акружнасць датыкаецца да стараны, роўная .
  • Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці роўная , дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
  • Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці можна таксама знайсці па формулах і
  • Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі — пункт перасячэння бісектрысы вугла A з апісанаю акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то .
  • Лема Вер'ера[1]: хай акружнасць датыкаецца да старон , і дугі апісанай акружнасці трохвугольніка . Тады пункты дотыку акружнасці са старонамі і цэнтр умежанай акружнасці трохвугольніка ляжаць на адной прамой.

У чатырохвугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых старон роўныя: .

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формуле:

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах перасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамою Гауса. Цэнтр умежанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых старон (тэарэма Брокараў).

У сферычным трохвугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая датыкаецца да ўсіх яго старон.

  • Тангенс радыуса[2] упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны [3]:73-74
  • Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка[3]:20-21.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с.
  2. Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мера дугі вялікага круга, якая злучае пункт перасячэння радыуса сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і пункт дотыку акружнасці да стараны трохвугольніка.
  3. 3,0 3,1 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0