Упісаная акружнасць

Акружнасць называюць упісанаю (умежанаю) у вугал, калі яна ляжыць унутры вугла і датыкаецца да яго старон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца ўпісанаю ў выпуклы многавугольнік, калі яна ляжыць унутры дадзенага многавугольніка і датыкаецца да ўсіх яго старон.

У многавугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Калі ў дадзены выпуклы многавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных вуглоў дадзенага многавугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.

Радыус упісанай у многавугольнік акружнасці роўны адносіне яго плошчы да паўперыметра

r={\frac {S}{p}}

У трохвугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх старон і з'яўляецца пунктам перасячэння бісектрыс трохвугольніка.
Радыус умежанай у трохвугольнік акружнасці роўны

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}

Калі AB — аснова роўнастаронняга $\triangle ABC$ , то акружнасць, якая датыкаецца да старон $\angle ACB$ ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
Формула Эйлера: $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ , дзе $R$ — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, $r$ — радыус умежанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.
Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная старане AB, перасякае стораны BC і CA у пунктах A₁ і B₁, то $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$ .
Пункты дотыку ўмежанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі, утвараюць трохвугольнік T₁.
- Бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T₁.
- Хай T₂ — ортатрохвугольнік T₁. Тады яго стораны паралельныя сторанам зыходнага трохвугольніка T.
- Хай T₃ — пасярэдні трохвугольнік T₁. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі T₃.
- Хай T4 — ортатрохвугольнік T₃, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі T₄.
Радыус умежанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны ${\frac {a+b-c}{2}}$ .
Адлегласць ад вяршыні С трохвугольніка да пункта, у якім умежаная акружнасць датыкаецца да стараны, роўная $d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c$ .
Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці роўная $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}$ , дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці можна таксама знайсці па формулах $l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}$ і $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}$
Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі $W$ — пункт перасячэння бісектрысы вугла A з апісанаю акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то $|WI|=|WB|=|WC|$ .
Лема Вер'ера^[1]: хай акружнасць $V$ датыкаецца да старон $AB$ , $AC$ і дугі $BC$ апісанай акружнасці трохвугольніка $ABC$ . Тады пункты дотыку акружнасці $V$ са старонамі і цэнтр умежанай акружнасці трохвугольніка $ABC$ ляжаць на адной прамой.

У чатырохвугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых старон роўныя: $AB+CD=BC+AD$ .

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формуле: $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.$

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах перасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамою Гауса. Цэнтр умежанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых старон (тэарэма Брокараў).

У сферычным трохвугольніку[правіць | правіць зыходнік]

Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая датыкаецца да ўсіх яго старон.

Тангенс радыуса^[2] упісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны ^[3]^:73-74

\operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}\,

Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка^[3]^:20-21.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с. Архівавана 4 сакавіка 2016.
↑ Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мера дугі вялікага круга, якая злучае пункт перасячэння радыуса сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і пункт дотыку акружнасці да стараны трохвугольніка.
↑ ^а ^б Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0

[1] Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с. Архівавана 4 сакавіка 2016.

[2] Тут радыус акружнасці вымяраецца па сферы, інакш кажучы, гэта градусная мера дугі вялікага круга, якая злучае пункт перасячэння радыуса сферы, праведзенага з цэнтра сферы праз цэнтр акружнасці, са сферай і пункт дотыку акружнасці да стараны трохвугольніка.

[St-3] а ^б Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

[1]

[2]

[3]