Медыяна трохвугольніка

Медыя́на трохвуго́льніка (лац.: mediāna — сярэдняя) ― адрэзак унутры трохвугольніка, якія злучае вяршыню трохвугольніка з сярэдзінаю процілеглай стараны, а таксама прамая, якая ўтрымлівае гэты адрэзак.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Медыяны трохвугольніка перасякаюцца з адным пункце, які называецца цэнтроідам ці цэнтрам цяжару трохвугольніка, і дзеляцца гэтым пунктам на дзве часткі ў адносіне 2:1, лічачы ад вяршыні.
Медыяна разбівае трохвугольнік на два роўнавялікія трохвугольнікі.
Трохвугольнік дзеліцца трыма медыянамі на шэсць роўнавялікіх трохвугольнікаў.
Большай старане трохвугольніка адпавядае меншая медыяна.
З вектараў, утвараючых медыяны, можна скласці трохвугольнік.
Пры афінных пераўтварэннях медыяна пераходзіць у медыяну.
Формула медыяны праз стораны (выводзіцца з тэарэмы Сцюарта ці дабудоваю да паралелаграма і выкарыстаннем роўнасці ў паралелаграме сумы квадратаў старон і сумы квадратаў дыяганалей):
$m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}},$

дзе m_c — медыяна к старане c; a, b, c — стораны трохвугольніка,
У прыватнасці, сума квадратаў медыян адвольнага трохвугольніка ў 4/3 раза меншая за суму квадратаў яго старон:
$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).$
Формула стараны праз медыяны:
$a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}},$

дзе $m_{a},m_{b},m_{c}$ медыяны да адпаведных старон трохвугольніка, $a,b,c$ — стораны трохвугольніка.